実数の整列化について

　大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした。
　さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。
　それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/07/03 02:32

連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。

証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます。

整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））

たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです。

数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）

ちなみに正65537角形の作図法なら知られています。（MathWorldから引用）De Temple (1991) notes that a geometric construction can be done using 1332 or fewer Carlyle circles. ＞ANo.1様

この回答へのお礼

大変遅れましたが、回答ありがとうございました。お礼は送信したつもりだったんですが、うまく送信できなかったようです。申し訳ありません。具体的な例を使って回答して下さったので、感覚的に腑に落ちました。ここらへんの議論は自分の感覚と相容れない様な結論が出たりするので、怪しい感じもしますが面白いです。ありがとうございました。

お礼日時：2006/10/20 21:25

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/07/02 14:51

「存在が証明される」のと

「具体的に構成する」というのは
別のものです
後者ならば前者は成立しますが
逆は成立しません．

ぶっちゃけた話，物理なんかでも
「理論的に予言されたものを
みんなで必死に探す」なんてことはよくありますね
＃逆のパターンも当然ありますが．
小柴先生のカミオカンデだって，
素粒子の質量の話だって，
古くは湯川先生の中間子だってそーいう流れでしょう．
相対論もそーいう流れのはず．

数学だと，正65537角形は作図可能ですけど
この作図の工程を具体的に示すのは
できないでしょう（もしかすると
もう誰かが具体的な書き方を見つけてるかも）

そもそも整列可能定理は選択公理と同値なわけで
整列可能な順番を目に見える形で
構成できたとすれば
それは選択公理を「構成」したこと
すなわち「証明」したことになりませんか？

この整列可能定理は選択公理の一種の
異質さというか危うさというかを
際立たせる意味合いもあると解釈すべきだと
思いますがどうでしょうか

この回答へのお礼

返信が大変遅くなりました。申し訳ありません。回答ありがとうございます

　「存在すること」だけが先に示されるという事はよくあるとの回答に納得しました。
　また、「整列可能な順番を具体的に構成すれば選択公理を証明したことになる」という箇所について、確かにそうなのですが、実数が整列化可能であることを具体的に示しただけで、選択公理が証明できるのが分かりません。そうだからこそ（？）、この質問をしたのです。これは自分で考えておきます。

　確かに選択公理は私達の現実の思考や行動から逸脱した事を言っている気がします。数学自体がどれだけ現実に対応した事を言っているのかも結構謎ですが。

お礼日時：2006/07/09 19:39