数学の《mod》について詳しく、分かりやすく教えて下さい。出来れば例も入れてくださると幸いです。

数学の《mod》について詳しく、分かりやすく教えて下さい。出来れば例も入れてくださると幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： MayTyu 回答日時： 2021/03/02 01:28

mod とは、2つの数を同じ数で割った時の余りを比べる式です。

参考書などには合同式の説明としてa-bがmの倍数のときa ≡ b (mod m)と書けるなどと説明してあるでしょうが、最初からこれを理解する必要はありません。徐々に理解するべきものです。

まず、a ≡ b (mod m)　という形に慣れましょう。最初はaをmで割った時の余りと、bをmで割った時の余りが等しい時a ≡ b (mod m)と書けるといった認識でいいと思います。
例　2 ≡ 5 (mod 3)

さて、先ほど触れた参考書に多く書いてある定義を振り返ると、「a-bがmの倍数のとき」に書ける式でもあることに気づくわけです。先ほどロ例もそうなっていますよね。ここで簡単な証明をしましょう。k,l,rはすべて整数です。

　最初はaをmで割った時の余りと、bをmで割った時の余りが等しいので、
　a÷m=k...r, b÷m=l...rと表せます。（kはaをmで割った時の商。bも同様。小学校の範囲です）ここで、...ｒが使いづらいので、aという文字を他のm,k,lで表してみましょう。
　a=mk+r, b=ml+r
　すると、a-bをすれば(mk+r)-(ml+r)=mk-ml=m(k-l)となり、k-l は整数なのでa-bはmの倍数だ、とようやく定義がわかりました。

ここまでくれば適当に合同式を作りたいなというときに（問題解くときはそんなことはあまりないのですが...）二つ数字を用意して、その差を考えれば簡単に合同式が作れるようになります。たとえば10と6を用意して、差が4だからまず10≡6(mod 4)と書けるし、4は2の倍数でもあるから、10≡6(mod2)とも書けるね、ということです。

合同式のメリットは数の余りをいちいち求めなくても一気に2つの（あるいは2つ以上の）数について余りを比べることができるところにあります。
a+x ≡ b+x (mod m)　,a-x ≡ b-x (mod m)　ax ≡ bx (mod m)　,a^x ≡ b^x (mod m)　,
1.　xとmが互いに素なとき　a/x ≡ b/x (mod m)
2.　xとmが互いに素でないとき　a/x ≡ b/x (mod m/x)　【割り算の場合は注意が必要です】　

すなわち、同じ数を足したり引いたり割ったり、同じ数分かけても等号関係が常に成り立つよ、ということです。こうすれば大きい値になった時もカンタンに小さい数に落とし込めていくわけです。
例1　10≡6(mod4)だけど、もっと簡単に5≡3(mod2)。
例2　7^100を10で割った時の余りは普通の計算ではできないけど、7^4=2401で10で割った時の余りは当然1だから、7^4は1に置き換えられる（7^4≡1(mod10)）。これを7^100に無理やりねじ込むと、7^100=(7^4)^25≡1^25≡1(mod10)よって7^100を10で割った時の余りは1だ。
こうしたもんだをはじめ、様々な（特に整数の割り算に関する）問題が解けるようになりますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！あなたが一番分かりやすかったです。

お礼日時：2021/03/02 21:19

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/03/01 22:19

英語のmoduloの略で剰余演算（整数の余りを求める）で用いる。

例1.
5 mod 3=2（5を3で割った余りは2）

例2.
9≡5 mod 4（9を4で割った余りと5を4で割った余りは等しい）

No.2 回答者： 酪酸納豆復活 回答日時： 2021/03/01 22:18

A≡B(modC)のとき、

A-B=C×k(kは実数)
例えば
40≡12(mod7)
では40-12=7×4
になるってことだ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/01 22:17

数学ですよね。

女子キャラがエッチな服になる追加プログラムとかではないですね？

整数 x, y について、 差 x-y が整数 m で割り切れることを
x ≡ y (mod m) と書きます。

これを使うと、 x ≡ y (mod m), a ≡ b (mod m) であるとき
x + a ≡ y + b (mod m), xa ≡ yb (mod m) が成り立ちます。
このことを「mod m の世界で足し算掛け算が普通に行える」と言います。
この性質から、整数の計算が簡便化できる場面少なくないのです。