組合せと素数の問題

解決済

質問者：zug
質問日時：2013/01/13 08:30
回答数：4件

以下の問題が解けなくて困っています。よろしくお願いします。

問）pを7以上の素数として、C(2p, p) - 2 は p^3 で割り切れる。これを証明せよ。

例）p=7ならC(14,7)-2=3430は7^3=343で割り切れる。

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回答 (4件)

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No.2ベストアンサー

回答者： tmpname
回答日時：2013/01/13 16:45

C(2p,p) = 2 * [(p+1)(p+2) …　(p+p+1)] / (p-1)!と書いておくと、題意は

(p+1)(p+2)… (p+p+1) ≡ (p-1)! (mod p^3)を示せばよいことになります。

ここで、多項式f(x) = (x+1)(x+2)… (x+p-1)を考えると、
f(x) = s[n,1] + s[n,2] x + s[n,3] x^2 + x^3g(x)と書けます。ここでg(x)は何かの多項式で、s[p,q]は「第1種スターリング数」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF% …
s[n,1] = (n-1)!です。
そこで、f(x)にx=pと代入し、mod p^3での結果を考えると、結局s[n,2] p + s[n,3] p^2 ≡ 0 (mod p^3)を示せばよいことになります。

そこで、
A. p^2 | s[n,2]
B. p | s[n,3]
の２つが示されれば、証明で来たことになります。

まずBは比較的易しく、s[n,3] = (p-1)! Σ(1≦m<n≦p-1) (1/mn)ですが、mod pでの結果を考えるとちょっと考えてΣ(1≦m<n≦p-1) (1/mn) ≡ 0(mod p)は示せますから、 Bは大丈夫。
次にAですが、これはs[n,2] = (p-1)!Σ(1≦n≦p-1) (1/n)ですが、≡ 0(mod p)を示すのは簡単ですが、今は≡ 0(mod p^2)を示す必要があります。これはWolstenholmeの定理を使うと直ちに示せます。http://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_th …　

以上で終わりです。