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現在、大学の「幾何学基礎」という授業の中で、微分形式のことをやっています。具体的には、微分積分学の基本定理から、グリーンの定理(ストークスの定理)などの説明を行い、引き戻しの計算などを行っています(幾何学的に)。しかし、先生がどんどん授業を進めていき、なおかつあまり詳しい説明もしないので、正直よく分からなくなっています。
もう少しで、テストなので余計にあせっており、しかも何をやったらよいのかよく分かりません。

そこで、自習用のテキストを購入したいのですが、何かお勧めの参考書はありませんか?(微分積分や線形代数の基本が分かっていれば、分かるような、なるべく分かりやすいものはありませんか?)
ちなみに、授業では、テキストは使っていないのですが(指定されていない)
「培風館 曲線・曲面と接続の幾何」(小沢 哲也)
「培風館 曲面の数学」(長野 正)
を紹介されました。
また、自分で調べて
「岩波書店 微分形式の幾何学」(森田 茂之)
「裳華房 曲線と曲面の微分幾何」(小林 昭七)
という本もよさそうだと思いました。
皆さんは、これらの本についてどのように思いますか?
(分かりやすさ,内容,練習問題,レベルなどを総合的に見て)
また、これ以外のおすすめの微分形式,微分幾何学の参考書があれば教えてください。(初心者向きで)

テストまで、あまり時間がありません。申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

「Gauss-Bonnetの定理」が目標ということですから、古典的な微分幾何学の参考書を探せばよいですね。

繰り返しますが、それには、質問者さんが掲げている参考書で充分です。

補足ですが、ちょっと古い本になりますが「多様体の微分幾何学 (実教理工学全書)丹野修吉 著」もよい本だと思います。学部の4年から大学院初年のレベルです。
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大学の講義はどんどん進みます。

特に数学は、指導教官の独りよがりなところがありますからね。
参考書は、質問者さんが掲げている本で良いような気がします。でも、講義で微分形式について触れているようですから、「コホモロジー」や「de Rhamの定理」を目標にしているのかもしれません。「位相幾何学」や「多様体」の入門書も読んだ方が良いかもしれませんね。

数学の勉強法のコツはなるべく早めに現代数学の基本的で重要な概念を見につけ、解析、代数、幾何を一つの全体像として把握することだと思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
もう少し、聞きたいのですが、将来的な(3年生以降の)最終目標は、「Gauss-Bonnetの定理」を理解することらしいです。
といわれても、正直なところ、授業の途中でいきなり最終目標を言われても理解できないのですが・・・

このような、最終目標に向かうためにも、「位相幾何学」や「多様体」が重要になってくるのですか?
2年生までは基礎を固めるために、まだ専門的な部分は余りわからないのですが・・・

補足日時:2008/01/09 00:36
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授業の内容のレベルが分からないので何とも言えないところはあります


が、曲線と曲面の微分幾何(小林昭七)が入門としては良いと思いま
す。
曲線の基本的な性質から入って、ガウス・ボンネの定理までが述べられ
ています。図も多くイメージがわきやすいようになっていると思いま
す。
微分幾何の本格的な本だと、やたらテンソル計算とかでてきたり、一般
次元の話がでてきたりで、何がやりたいのか初学者にはわからないこと
があるので、まず、2、3次元での具体的な図形的なイメージを形成す
ることが大事と思います。

この本のあとがきにも、この本を勉強したのちに多様体、リーマン幾何
へと進まれることを望みますとあります。
ですから、どちらかというと微分幾何の本というよりも、微分幾何に進
むための橋渡し的な本という位置づけかもしれませんが。
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>しかも何をやったらよいのかよく分かりません。



コツは授業中にその場で質問することです。後で質問しようとか考えてはいけません。

どんどん先に進んでいくのは、誰も質問しないから先生は「生徒が授業を理解している」と思って進んでいるだけです。
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