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フーリエの積分定理:{f(x+0)+f(x-0)}/2

例えば、

f(x){|x| (|x|≦1)
  { 0 (|x|>1)

というものがあって、これをフーリエ余弦変換したものを用いて
次の公式を導けというものです。

範囲は0→∞
(1)∫{(u・sin(u)+cos(u)-1)/u^2}du = π/4

答えとかは分かってるんですが、
関数f(x)はx=1で連続で無いから、フーリエの積分定理より

{f(1+0)+f(1-0)}/2 = ~(1)の左辺を余弦変換したもの
     (0+1)/2 = ~

このときに、左辺でフーリエの積分定理を使ってるんですが、
自分としてはxに何を入れてもf(x)じゃないのか?と思うわけです。

なので、なぜ f(x+1) = 0 と f(x-1) = 1 になるのか教えてください。

あと、x=1にする理由もわかりません。
x=(-1)じゃ駄目な理由も教えてもらえると助かります。

A 回答 (2件)

>f(x+0)の意味が分からないので、とりあえずf(x+0) = f(x)じゃないの?


>という風な見方をしています。

普通は f(x+0) = lim_{h -> +0} f(x+h) という意味だと思います。
f(x-0) はその逆ね。

この回答への補足

あ~そういえばそんなようなことを昔にやった気がします。
分かりました。ありがとうございます!

補足日時:2008/09/20 16:03
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>自分としてはxに何を入れてもf(x)じゃないのか?と思うわけです。


何が言いたいのかわかりません。もっと詳しく補足にどうぞ。

>なので、なぜ f(x+1) = 0 と f(x-1) = 1 になるのか教えてください。
恐らく誤記でしょうが、それはつまり f(x+0) 等の意味がわからんということですか?
定理の言明の際に記号の説明はなかったのですか?

>x=(-1)じゃ駄目な理由も教えてもらえると助かります。
そう思ったのなら、トライしてみるのが王道です。

この回答への補足

>>自分としてはxに何を入れてもf(x)じゃないのか?と思うわけです。
>何が言いたいのかわかりません。もっと詳しく補足にどうぞ。
>>なので、なぜ f(x+1) = 0 と f(x-1) = 1 になるのか教えてください。
>恐らく誤記でしょうが、それはつまり f(x+0) 等の意味がわからんということですか?

なんと言ったらいいんでしょうか。二つめの解答にあるように、
f(x+0)の意味が分からないので、とりあえずf(x+0) = f(x)じゃないの?
という風な見方をしています。

>定理の言明の際に記号の説明はなかったのですか?
すいません。よく分からないです。記号とは何のことでしょうか?

>>x=(-1)じゃ駄目な理由も教えてもらえると助かります。
>そう思ったのなら、トライしてみるのが王道です。
やってみるとなんと同じになりました(汗)

補足日時:2008/09/20 12:30
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