東大の数学

mが正の整数全体を動くとき、5m^4の下2桁として現れる数をすべて求めよ

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/06/03 21:02

こんばんわ。

下2ケタは「100で割った余り」という見方をしてあげて、
さらに二項定理を応用すれば問題が簡単になります。

m＝ 100p+ 10q+ r　（p, q, rは負でない整数で、0≦ q≦ 9, 0≦ r≦ 9）とおくと

5m^4
＝ 5* (100p+ 10q+ r)^4
＝ 5* { r^4+ 4Ｃ3*(10q)*r^3+ （100の倍数） }

さらに、5* 4Ｃ3* 10＝ 200となるので、結果
5m^4＝ 5*r^4+ (100の倍数)

となります。
つまり、5m^4の下2ケタと 5r^4の下2ケタは同じということができます。
rは 0～9の数ですので、その 10とおりの計算をすれば答えが導き出せます。


※すいません、上の式中の（100の倍数）のところは
うまく表現する必要があると思ってます。

No.3 回答者： fooly 回答日時： 2012/06/04 00:11

整数は勉強中なのであまり自信ないので参考までという事で(僕程度の人が書いたものが参考になるかは謎ですが)

1. 下2桁なので 5m^4 を mod 100 で見ればよさそう。
あと問題の条件は、整数だけど(自然数じゃなくて)4乗なので、負の値は気にしなくて良さそう。

2. 5m^4 の 5 に注目すると ×5 は 1,2,3...20 を 5,10,15...100 に対応させるので、最初は m^4 の mod 20 を考えて、最後に ×5 すればよさそう
「対応させる」を具体的に書くと
　 1 (mod 5) → 5 (mod 100)
　 2 (mod 5) → 10 (mod 100)
　 3 (mod 5) → 15 (mod 100)
...
　20 (mod 5) → 100 ≡ 0 (mod 100)
　21 (mod 5) → 105 ≡ 5 (mod 100)
　22 (mod 5) → 110 ≡ 10 (mod 100)
...
　40 (mod 5) → 200 ≡ 0 (mod 100)
　41 (mod 5) → 205 ≡ 5 (mod 100)
　42 (mod 5) → 210 ≡ 10 (mod 100)
という感じです

3. m^4 を (0 ≦ m ≦ 19) でひとつずつ計算
でも
1^4 ≡ -1^4 ≡ 19^4 (mod 20)
2^4 ≡ -2^4 ≡ 18^4 (mod 20)
3^4 ≡ -3^4 ≡ 17^4 (mod 20)
が使えるので実際は (0 ≦ m ≦ 10) までやれば大丈夫なハズ

4. m^4 を ×5
1^4 ×5 = 5
2^4 ×5 = 80
...


という感じに考えました。全々違うかもしれませんが。
あと手順 3 のところで、(0 ≦ m ≦ 10) で計算しましたが、この中でも規則性があったのでもっと上手い方法がありそうな気がします。

mod 20 なので、20 = 5 * 4 とかをどうにか使えるのかもしれません。
例えば、m^4 ≡ 1 (mod 4+1) ＜フェルマーの小定理＞ とか

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2012/06/03 23:48

m=10j+i

j≧0の整数
i＝0,1,2....9(j≠0）の整数
i=1,2,....9(j=0)の整数

5m^4=5(10j+i)^4
=5(100j^2+20ij+i^2)^2
=5(10000j^4+400i^2j^2+i^4+4000j^3i+200j^2i^2+40ji^3)
=50000j^4+2000i^2j^2+5i^4+20000j^3i+1000j^2i^2+200ji^3
1）j≠0のとき

5m^4において5i^4以外は0(i=0)または3桁以上の整数(i≠0)

i＝0,1,2....9に対して5i^4を計算し下2桁を示すと

i=0 5i^4=00
i=1 5i^4=05
i=2 5i^4=80
i=3 5i^4=05
i=4 5i^4=80
i=5 5i^4=25
i=6 5i^4=80
i=7 5i^4=05
i=8 5i^4=80
i=9 5i^4=05

よって5m^4の下2桁は00,05,25,80

2)j=0のとき

5m^4において5i^4以外は0

従ってi=1,2,...9について5i^4を考えればよい

これは1)においてi=0の場合を除いたものであるが

i=1の場合は5m^4＝5であって2桁以上の数字にはならない

1)、2）より

00,05,25,80,5