大学数学 解答

a_(n+1) =1/(2+a_n)
a_1 = a>0

で定義される数列{a_n}について,
lim[n→∞]a_n = -1+√２

を示せ。

という問題があるのですが

｜a_(n+2) - a_(n+1)｜から変形して、何かしらの定理を用いてコーシー列であることを示すのですが、どの定理を用いればよいかわからないです。

わかるかたいらっしゃいましたらよろしくお願います。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/20 21:12

コーシー列の概略について

#2で
　1/(2+a[n])<1/2
を使えば、帰納方から
　|a[n+1]-a[n]|<(1/4)|a[n]-a[n-1]|<…<(1/4)ⁿ⁻¹|a₂-a₁|

次に、m≧n, k=1/4 として
　|a[m]-a[n]|
　　≦|a[m]-a[m-1]|+|a[m-1]-a[m-2]|+…+|a[n+1]-a[n]|
　　　<{k^(m-2)+k^(m-3)+…+kⁿ⁻¹}|a₂-a₁|
　　　 =kⁿ⁻¹{k^(m-n-1)+k^(m-n-2)+…+1}|a₂-a₁|
　　　 =kⁿ⁻¹[{1-k^(m-n)}/(1-k)] |a₂-a₁|
　　　　<[kⁿ⁻¹/(1-k)] |a₂-a₁| → 0 (m,n → ∞)

m,nの大小を入れ替えても同じ議論が成り立つ。したがって
∀ε>0, ∃N, m,n≧Nなら　|a[m]-a[n]|<ε
が成り立つ。

つまり、a[n]はコーシー列となり、a[n]は収束する。
したがって、漸化式の極限を解けば、a[n+1],a[n]とも同じ、値
xに収束するから、極限値xは
　x=1/(2+x)
を満たし、a[n]>0 だから、x≧0の方を選べばよい。

この回答へのお礼

どちらの解法もわかりやすく教えてくださってありがとうございます！
理解できました

お礼日時：2023/11/20 21:33

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/20 13:58

漸化式を使って、

｜a_(n+2) - a_(n+1)｜ = ｜ 1/(2 + a_(n+1)) - 1/(2 + a_n) ｜
= ｜ { (2 + a_n) - (2 + a_(n+1)) } / { (2 + a_(n+1))(2 + a_n) } ｜
= ｜a_(n+1) - a_n｜ / ｜(2 + a_(n+1))(2 + a_n)｜.

(2 + a_(n+1))(2 + a_n) ≧ 1 であることが言えれば、
｜a_(n+2) - a_(n+1)｜ ≦ ｜a_(n+1) - a_n｜ になりますね。

再度漸化式を使って
(2 + a_(n+1))(2 + a_n) = (2 + 1/(2 + a_n))(2 + a_n)
= 2(2 + a_n) + 1.
漸化式から帰納法で a_n > 0 が言えるので、
(2 + a_(n+1))(2 + a_n) = 2(2 + a_n) + 1 > 5 > 0 です。
オシマイ。

でも、いずれにせよ lim[n→∞] a_n の値は求めないといけないので、
No.1 のように、先に値から求めてしまうほうが楽かなあ...

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/11/20 21:33

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/20 06:19

もっと簡単な方法があります。

まず、帰納法から a[n]>0は自明。すると
　1/(2+a[n])<1/2・・・・・①

　x=1/(2+x)・・・・②
とおく(数列が収束すると仮定したときの値)。
この値は 　x=-1±√2 だが、x>0をとり
　x=-1+√2
とする。

次式を計算すると
　|a[n+1]-x|=|1/(2+a[n])-1/(2+x)|・・・・②から
　　=|x-a[n]|/{(2+a[n])(2+x)}
　　　　≦(1/4)|a[n]-x|・・・①から(a[n]=xの場合も含め)

すると、帰納的に
　|a[n+1]-x|≦(1/4)ⁿ|a₁-x|=(1/4)ⁿ|a-x| → 0
したがって、a[n] → x

なお、コーシー列を示すのはバナッハの不動点定理の方法が
使えると思う。