
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
3^n=k^3+1…(与式)
0=k^3+1(mod3)
-1=k^3(mod3)
-1=k(mod3)
∴k=3L+2(L≧0)…②
となる整数Lがある
②を(与式)に代入して
3^n=(3L+2)^3+1=(3L+)(9L^2+9+3)
∴3^n=(3^2)(L+1)(3L^2+3L+1)…(A)
3^(n-2)=(L+1)(3L^2+3L+1)
3L^2+3L+1=3^j…③
となる整数j≧0がある
1=3^j(mod3)だから
j=0
↓これを③に代入すると
3L^2+3L+1=1
3L^2+3L=0
L(L+1)=0
↓L+1>0だから
L=0
↓これを(A)に代入すると
3^n=3^2
n=2
↓これを(与式)に代入すると
3^2=k^3+1
8=k^3
2=k
∴
(k,n)=(2,2)
(2)
3^n=k^2-40
3^n=k^2(mod4)
k=0,2(mod4)のときk^2=0(mod4)
k=1,3(mod4)のときk^2=1(mod4)
だから
k^2=0,1(mod4)
nを奇数と仮定すると
n=2j+1となる整数j≧0がある
3^n=3^(2j+1)=3(9^j)=3(4*2+1)^j=3(mod4)
だから
3=k^2(mod4)
となって
k^2=0,1(mod4)
に矛盾するから
nは偶数
だから
n=2mとなる整数mがある
3^n=k^2-40
k^2-3^n=40
↓n=2mだから
k^2-3^(2m)=40
(k-3^m)(k+3^m)=40
(k-3^m)(k+3^m)=1*40
(k-3^m)=1<(k+3^m)=40のとき
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=39となって不適
(k-3^m)(k+3^m)=2*20
(k-3^m)=2<(k+3^m)=20のとき
(k+3^m)+(k-3^m)=2k=22→k=11
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=18→m=2→n=4
(k-3^m)(k+3^m)=4*10
(k-3^m)=4<(k+3^m)=10のとき
(k+3^m)+(k-3^m)=2k=14→k=7
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=6→m=1→n=2
(k-3^m)(k+3^m)=5*8
(k-3^m)=5<(k+3^m)=8のとき
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=3となって不適
∴
(n,k)=(2,7)
または
(n,k)=(4,11)
No.1
- 回答日時:
Fermat の定理ですか?
k^(3-1) ≡ 1 (mod 3) から
k^3 ≡ k (mod 3) を導いて使ったんでしょうか。
答案は正しいと思います。
でも、(B) を経由したのはやや冗長かな。
(A) の時点で 3L^3 + 3L + 1 が 3 の冪乗ですから、
mod 3 で考えれば 3(L^2 + L) + 1 = 3^0 しかない
と判ります。よって L = 0, -1 だが、L ≧ 0 より L = 0.
L = 0 のとき k = 2, n = 2 で、これは解になっています。
この 3^0 の使い方は、同じ問題の初回質問のとき
使って見せたような気がします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 整数問題5 続き 6 2023/04/06 11:37
- 数学 整数問題9 激難だそうです 6 2023/04/17 15:58
- 数学 (1) 方程式 65x+31y=1の整数解をすべて求めよ。 (2) 65x+31y=2016 を満た 1 2022/06/29 11:02
- 数学 整数問題4 16 2023/04/02 13:54
- 数学 整数問題9 激難 続き (2) 私の答案にご指導ください 1 2023/04/25 16:41
- 数学 どうか教えてください。 4 2022/07/02 20:18
- 数学 「0 < x ≦ y ≦ zである整数x, y, zについて xyz=x+y+zを満たす整数x, y 2 2023/06/16 11:09
- 数学 nC2=2016 の等式を満たす正の整数nの値を求める問題で n(n-1)/2=2016 n^2-n 4 2023/04/07 16:58
- 数学 確率の問題です。 5 2022/12/20 19:18
- 数学 整数問題 12 平方 32 2023/05/02 13:23
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
「メネラウスの定理」、学校で...
-
数学のおすすめの勉強法について。
-
数学で定理、公理、定義の違い...
-
f(x)が(x-a)(x-b)で割り切れる⇔...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
二次合同式の解き方
-
相似比の答え方・・・
-
定理と公式は、どう違いますか?
-
等角写像 画像に、ヤコビアンが...
-
至上最難問の数学がとけた
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
ロピタルの定理
-
数学の定理は覆らない?
-
代数学Ⅲ体とガロア理論 桂利行 ...
-
方べきの定理について
-
二つの円での平行の証明
-
連立合同式について
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
何時間 何分 何秒を記号で表...
-
鋼材について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
至上最難問の数学がとけた
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
パップスギュルダンの定理について
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
定理と公式は、どう違いますか?
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
至急です! 数学で証明について...
-
ピタゴラス数について。
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
二次合同式の解き方
-
aは自然数とする。a+5は4の倍...
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
合同式の変形
-
実数の整列化について
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
微分形式,微分幾何学の参考書
-
modを使用した平方根の求め方
-
4.6.8で割るとあまりはそれぞれ...
おすすめ情報
前回頂いた回答はこちらです
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13432620.html
何卒宜しくお願い致します。
ありものがたりさん、おはようございます
ご指導ありがとうございます。
私も冗長かな、、と思ってましたので
出来れば(2)もご回答いただけると幸いです
from minamino
やっと、(2) の答案を作成する事が出来ました
どうか
ご評価、ご指導ください
from minamino
答案一部変更です