整数問題９ 激難だそうです

(1) 3ⁿ = k³+1 を満たす正の整数組(k, n) を全て求めよ
(2) 3ⁿ = k²-40 を満たす正の整数組(k, n) を全て求めよ

補足

取り付く島もないといった感じです
具体的に書き出して、何かを掴むしか無さそうです

現在試行錯誤中です、

識者のアプローチも頂きたいです

質問者からの補足コメント

• 

  いつもお世話になっております。
  
  前問の答案が出来ましたので
  
  ご評価、ご指導ください
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13427574.html
  
  この問題は私は、試行錯誤中です、

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/19 21:00

• 

  おはようございます
  
  体調がかなり悪く、机に向かう事もできまん
  
  せっかく、ご回答頂きましたが
  
  私の答案を出せずに至りましたこと
  
  深くお詫び申し上げます。
  
  
  また、同じ問題を質問しますので、何卒宜しくお願い致します

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/24 10:44

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/21 09:31

(1)

k=2
n=2

(2)
Z(√3)={a+b√3|a,bは整数}
とする

3^n=k^2-40
40=k^2-3^n
k^2-3^n=40

nを奇数と仮定すると
n=2m+1となる整数m≧0がある

k^2-3^n
=k^2-3^(2m+1)
=
{k-(3^m)√3}{k+(3^m)√3}=5(1+√3)^4(2-√3)^2

5はZ(√3)の素元だから
{k-(3^m)√3}または{k+(3^m)√3}が5の倍元だから
{k-(3^m)√3}が5の倍元と仮定すると
k-(3^m)√3=5(a+b√3) となる整数a,bがある
k=5a
-3^m=5b
となって
3と5が互いに素である事に矛盾するから
{k+(3^m)√3}が5の倍元
k+(3^m)√3=5(a+b√3) となる整数a,bがある
k=5a
3^m=5b
となって
3と5が互いに素である事に矛盾するから

nは偶数
n=2mとなる整数がある

k^2-3^n
=k^2-9^m
=(k-3^m)(k+3^m)=40

k-3^m<k+3^m
k-3^mは40の約数だからk-3^m=1.or,2.or.4.or.5

k-3^m=1のときk+3^m=40→2*3^m=39となって不適
k-3^m=2のときk+3^m=20→3^m=9→m=2,k=11,n=4
k-3^m=4のときk+3^m=10→3^m=3→m=1,k=7,n=2
k-3^m=5のときk+3^m=8→2*3^m=3となって不適

∴
(k=7,n=2)
または
(k=11,n=4)

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/21 09:21

(1)

k=2
n=2

(2)
Z(√3)={a+b√3|a,bは整数}
a+b√3のノルムを
N(a+b√3)=|a^2-3b^2|
とする

3^n=k^2-40
40=k^2-3^n
k^2-3^n=40

nを奇数と仮定すると
n=2m+1となる整数m≧0がある

k^2-3^n
=k^2-3^(2m+1)
=
{k-(3^m)√3}{k+(3^m)√3}=5(1+√3)^4(2-√3)^2

5はZ(√3)の素元だから
{k-(3^m)√3}または{k+(3^m)√3}が5の倍元だから
{k-(3^m)√3}が5の倍元と仮定すると
k-(3^m)√3=5(a+b√3) となる整数a,bがある
↓両辺のノルムをとると
|k^2-3^n|=25|a^2-3b^2|
↓k^2-3^n=40だから
40=25|a^2-3b^2|
8/5=|a^2-3b^2|
となって|a^2-3b^2|が整数である事に矛盾するから
{k+(3^m)√3}が5の倍元
k+(3^m)√3=5(a+b√3) となる整数a,bがある
↓両辺のノルムをとると
|k^2-3^n|=25|a^2-3b^2|
↓k^2-3^n=40だから
40=25|a^2-3b^2|
8/5=|a^2-3b^2|
となって|a^2-3b^2|が整数である事に矛盾するから

nは偶数
n=2mとなる整数がある

k^2-3^n
=k^2-9^m
=(k-3^m)(k+3^m)=40

k-3^m<k+3^m
k-3^mは40の約数だからk-3^m=1.or,2.or.4.or.5

k-3^m=1のときk+3^m=40→2*3^m=39となって不適
k-3^m=2のときk+3^m=20→3^m=9→m=2,k=11,n=4
k-3^m=4のときk+3^m=10→3^m=3→m=1,k=7,n=2
k-3^m=5のときk+3^m=8→2*3^m=3となって不適

∴
(k=7,n=2)
または
(k=11,n=4)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/19 16:48

面倒くさいのは、 n が奇数のときだよ。

n が偶数(n = 2m, m ≧ 1)なら、

k^2 = 3^(2m) + 40 より
3^(2m) < k^2 < 3^(2m) + 3^(2m+1) = 4・3^(2m) で
3^m < k < 2・3^m と判る。

k = 3^m + x と置くと、 0 < x < 3^m.
40 = k^2 - 3^n = (3^m + x)^2 - 3^(2m) = 2x・3^m + x^2 > 2・1・3^m + 0 より
20 > 3^m. よって m ≦ 2.

m = 1 のとき、 n = 2m = 2, k^2 = 3^2 + 40 = 49 = 7^2. よって k = 7.
m = 2 のとき、 n = 2m = 4, k^2 = 3^4 + 40 = 121 = 11^2. よって k = 11.

さて、奇数どうするかな...
3^n + 40 の開平を 3進表記でやれば何とかなりそうだけれども。
ちな、 40(10進) = 1111(3進) ね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/19 13:07

(1)

k=2
n=2

(2)
3^n=k^2-40
40=k^2-3^n
k^2-3^n=40

nが偶数のとき
n=2mとなる整数がある

k^2-3^n
=k^2-9^m
=(k-3^m)(k+3^m)=40

k-3^m<k+3^m
k-3^mは40の約数だからk-3^m=1.or,2.or.4.or.5

k-3^m=1のときk+3^m=40→2*3^m=39となって不適
k-3^m=2のときk+3^m=20→3^m=9→m=2,k=11,n=4
k-3^m=4のときk+3^m=10→3^m=3→m=1,k=7,n=2
k-3^m=5のときk+3^m=8→2*3^m=3となって不適

∴nが偶数のとき

(k=7,n=2)
または
(k=11,n=4)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/17 18:53

(1)

n ≧ 1 より、 3ⁿ は 3 で割り切れる。

3で割った余りを考えると、下の表のようになるから、
　　kを3で割った余り　(k³+1)を3で割った余り
　　0　　　　　　　　1
　　1　　　　　　　　2
　　2　　　　　　　　0
k を 3 で割った余りは 2 であり、 k = 3a - 1 {aは整数} と置ける。

これを原式へ代入して、
3ⁿ = (3a - 1)³ + 1 = 27a³ - 27a² + 9a - 1 + 1
　= 9a(3a² - 3a + 1).
3a² - 3a + 1 は、3ⁿ の約数であり、3 で割った余りが 1 だから
3a² - 3a + 1 = 3^0 である。

二次方程式を解いて、 a = 0, 1.
a = 0 は、 k = -1 ≦ 0 となり不適。
a = 1 のとき、 k = 2, n = 2 となる。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/17 16:29

hint:

(1) k³+1=(k+1)(k²-k+1)
k+1=3ª　a∈Z
⇒k²-k+1=(3²ª-2･3ª+1)-(3ª-1)+1=3²ª-3ª⁺¹+1　（代入）
・・・