整数問題９ 激難 続き ご迷惑をお掛けしました

(1) 3ⁿ = k³+1 を満たす正の整数組(k, n) を全て求めよ
(2) 3ⁿ = k²-40 を満たす正の整数組(k, n) を全て求めよ

補足
Fuermat の小定理を使ってみました

（２）は、同じ考え方で解ければいいのですが

まず（１）の私の答案のご評価、ご指導ください

質問者からの補足コメント

• 

  前回頂いた回答はこちらです
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13432620.html
  
  何卒宜しくお願い致します。

    補足日時：2023/04/24 16:44

• 

  ありものがたりさん、おはようございます
  
  ご指導ありがとうございます。
  
  私も冗長かな、、と思ってましたので
  
  出来れば(2)もご回答いただけると幸いです
  
  
  from minamino

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/25 05:47

• 

  やっと、(2) の答案を作成する事が出来ました
  
  どうか
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
    補足日時：2023/04/25 16:30

• 答案一部変更です

  
    補足日時：2023/04/25 17:40

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/26 11:12

(1)

3^n=k^3+1…(与式)
0=k^3+1(mod3)
-1=k^3(mod3)
-1=k(mod3)
∴k=3L+2(L≧0)…②
となる整数Lがある
②を(与式)に代入して
3^n=(3L+2)^3+1=(3L+)(9L^2+9+3)
∴3^n=(3^2)(L+1)(3L^2+3L+1)…(A)
3^(n-2)=(L+1)(3L^2+3L+1)
3L^2+3L+1=3^j…③
となる整数j≧0がある
1=3^j(mod3)だから
j=0
↓これを③に代入すると
3L^2+3L+1=1
3L^2+3L=0
L(L+1)=0
↓L+1>0だから
L=0
↓これを(A)に代入すると
3^n=3^2
n=2
↓これを(与式)に代入すると
3^2=k^3+1
8=k^3
2=k
∴
(k,n)=(2,2)

(2)
3^n=k^2-40
3^n=k^2(mod4)

k=0,2(mod4)のときk^2=0(mod4)
k=1,3(mod4)のときk^2=1(mod4)
だから
k^2=0,1(mod4)

nを奇数と仮定すると
n=2j+1となる整数j≧0がある

3^n=3^(2j+1)=3(9^j)=3(4*2+1)^j=3(mod4)
だから
3=k^2(mod4)
となって　
k^2=0,1(mod4)
に矛盾するから

nは偶数

だから

n=2mとなる整数mがある

3^n=k^2-40
k^2-3^n=40
↓n=2mだから
k^2-3^(2m)=40

(k-3^m)(k+3^m)=40

(k-3^m)(k+3^m)=1*40
(k-3^m)=1<(k+3^m)=40のとき
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=39となって不適

(k-3^m)(k+3^m)=2*20
(k-3^m)=2<(k+3^m)=20のとき
(k+3^m)+(k-3^m)=2k=22→k=11
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=18→m=2→n=4

(k-3^m)(k+3^m)=4*10
(k-3^m)=4<(k+3^m)=10のとき
(k+3^m)+(k-3^m)=2k=14→k=7
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=6→m=1→n=2

(k-3^m)(k+3^m)=5*8
(k-3^m)=5<(k+3^m)=8のとき
(k+3^m)-(k-3^m)=2*3^m=3となって不適

∴
(n,k)=(2,7)
または
(n,k)=(4,11)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/24 18:30

Fermat の定理ですか？

k^(3-1) ≡ 1 (mod 3) から
k^3 ≡ k (mod 3) を導いて使ったんでしょうか。

答案は正しいと思います。
でも、(B) を経由したのはやや冗長かな。
(A) の時点で 3L^3 + 3L + 1 が 3 の冪乗ですから、
mod 3 で考えれば 3(L^2 + L) + 1 = 3^0 しかない
と判ります。よって L = 0, -1 だが、L ≧ 0 より L = 0.
L = 0 のとき k = 2, n = 2 で、これは解になっています。

この 3^0 の使い方は、同じ問題の初回質問のとき
使って見せたような気がします。