No.4ベストアンサー
- 回答日時:
v1,…,vnが一次独立
写像f:R^n→R^n,f(x)=Ax
とする
v1,…,vn
は
f(R^n)の一次独立な基底だから
f(R^n)の次元は
dim(f(R^n))=n=dim(R^n)
だから
f(R^n)=R^n
だから
fは全射
だから
任意の
y∈R^n
に対して
y=f(x)=Ax
となるようなx∈R^nが存在する
f(x)=f(a)
とすると
f(x-a)=f(x)-f(a)=0
だから
x-a=(x1,…,xn)
とすると
f(x-a)=A(x-a)=x1v1+…+xnvn=0
v1,…,vnが一次独立だから
x1=…=xn=0
だから
x-a=0
x=a
だから
fは単射
だから
fは全単射
だから
任意の
y∈R^n
に対して
y=f(x)=Ax
となるようなx∈R^nがただ1つ存在するから
x=A^(-1)y
となる
Aの逆行列A^(-1)が存在するから
∴
Aは正則
No.3
- 回答日時:
>えどういう意味ですか?
例えば正則の定義はいっぱいあります。
(2)を正則の定義とするなら
証明は不要です。
>なんで使えない定理があるんですか??
(2)→(1)もよく知られた定義/定理ですよ。
おそらく「定理です」で終わりにしてよい
問題ではないでしょう。問題の出て来た文脈
から使える定理を判断して解きましょう。
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