![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/common/profile/M/noimageicon_setting_03.png?5a7ff87)
新年早々の質問ですが、よろしくお願いします。
テイラーの定理では、↓のようにRn(x)にθが含まれていますが、
a=0のとき、「マクローリンの定理」と呼ぶと教科書にありました。
f(x)=f(a)+(1/1!)*f'(a)(x-a)+(1/2!)*f''(a)(x-a)^2+…+{1/(n-1)!}f^(n-1)(a)(x-a)^(n-1)+Rn(x)
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(a+θ(x-a))(x-a)^n (0<θ<1)
この「マクローリンの定理」の場合、
このRn(x)のaに0を代入するだけでは
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(0+θ(x-0))(x-0)^n
Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n
となり、θがきえないと思うのです。
しかし、以前、こちらで質問をした際に、
x^5をマクロ-リンの定理を適用(n=3)した結果が
10θ^2x^5ではなく、0になると指摘されました。
f(x)=x^5
f(0)=0
f'(x)=5x^4
f'(0)=0
f''(x)=5・4x^3=20x^3
f''(0)=0
f'''(x)=20・3x^2=60x^2
f'''(θx)=60θ^2x^2
n=3のとき、
f(x)=f(0)+(1/1!)*f'(0)x+(1/2!)*f''(0)x^2+Rn(x)
Rn(x)=(1/3!)f'''(θx)x^3
より、
f(x)=0+0x+(1/2)*(0)x^2+Rn(x)
Rn(x)=(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3=10θ^2x^5 ←ここが間違い!
自分はRn(x)ではなく「マクローリンの定理では、
Rn(0)とすればいいのかなと漠然と考えていましたが、
いまいち理解できていません。
θが含まれる項が0になる理由(もしくはプロセス)を
ご指導いただければと思います。
以上、よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
いいえ。
θ が残るというよりも、n次平均値定理 (=n次テーラーの定理) (マクローリンの定理って言う?) では、
θ が x に依らない (a には依る) 定数であることまでしか分からない という事です。
θ の値は、別の方法で求める必要があります。
たびたびの丁寧な回答、ありがとうございます。
おかげさまで、ようやくわかったような気がします。
今回の質問をさせてもらったのは、別の質問になるのですが、
『次の関数に「マクローリンの定理」を適用せよ。
但し、n=3とする。』
という問題の解き方について、以前ご教授いただいたのですが
x^5のときの答えは「0」になるとのアドバイスをいただき、
自分がこんがらがってしまったのが原因でした。
何度もすいませんが、上記の問題でn=3の時の答えを出す場合は、
x^5を5次まで微分せずに、n=3、つまり3次までしか微分しないので
θが消えずに残るが、
θの値は、aに依存する定数であることまでしかわからないので
そのまま。よって答えは「10θ^2x^5」になるということですね。
元旦にもかかわらず、
勉強不足の私にわかるように丁寧に指導していただき、
大変お世話になりました。
No.2
- 回答日時:
3次の平均値定理が示すのは、
x^5 = 0 + 0 x + 0 x^2 + 10 (θ^2) x^5
を満たす定数 θ が、0 < θ < 1 の範囲に存在する
ということです。
事実 0 < 1/√10 < 1 ですから、合っていますね。
回答いただき、ありがとうございます。
そこはかとなくですが、理解できたような気がします。
つまり、やはりx^5 をマクローリンの定理を適用する場合
5次までいけばθは消えますが、
3次(n=3)で止めるのであれば、答えは0ではなく、
10(θ^2)x^5になり、θが消えずに残るという解釈で
いいということですね。
大変お世話になりました。
No.1
- 回答日時:
> Rn(x)=(1/n!)f^(n)(θx)x^n
> となり、θがきえないと思うのです。
当たり前です。消えては困ります。
そこで θ が消えるような公式が存在したら、
全ての関数 f( ) が多項式ということになってしまいます。
f(x) = x^5 の場合に、式から θ が消えるのは、
f ^(5) が、定数関数 1 なので、引数 θx に影響されないからです。
> θが含まれる項が0になる理由(もしくはプロセス)を
> ご指導いただければと思います。
違います。
式に θ が含まれなくなるだけで、R_5 が 0 になった訳ではありません。
f(x) = x^5 の5次マクローリン展開は、
f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + R_5(x),
R_5(x) = x^5.
です。
早速の解答ありがとうございます。
ということは、f(x)=x^5をn=3でマクローリン定数を適用したときは、
Rn(x)=(1/3!)f^(3)(θx)x^3
=(1/6)*(60θ^2x^2)*x^3
=10θ^2x^5 となり、
θが残り、f(x)=10θ^2x^5 になるということでしょうか?
たびたびですいませんが、ご指導のほど、よろしくお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 レピュニット数の性質についてです。 レピュニット数とは、各桁が1のみの数で、以下1がk桁の数をRkと 3 2023/07/21 19:58
- 数学 解析学についての問いです 1 2022/12/13 22:59
- 数学 f(x)=2x+∮(0~1)(x+t)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めよ。 3 2022/07/05 22:54
- 数学 ロジスティックモデルの方程式を積分したらどうなりますか? dn/dt=rn(1-n/k) nt=?? 2 2023/04/24 17:42
- 数学 ほんとに何度もすみません。 どうか相手にしてください。 逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆に 16 2023/08/25 20:45
- 高校 合成関数の定義域につきまして 1 2022/05/18 17:26
- 数学 合成関数の求め方(2変数関数) 1 2022/04/21 10:41
- 数学 x^4-2x^2+16x-15=0 という因数分解の答えが、 (X-1)(X+3)(X^2-2X+5 4 2022/05/15 16:20
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 数学 aを実数の定数とする。xの方程式 (x²+2x)²ーa(x²+2x)ー6=0 の異なる実数解の個数を 4 2023/02/13 23:15
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
至上最難問の数学がとけた
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
11・13y≡5(mod9)がy≡4(mod9)にな...
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
奇数次の代数方程式
-
格子点と正方形の枚数の関係
-
場合の数の問題なんですが、 40...
-
相似比の答え方・・・
-
偏微分の「fxy」と「fyx...
-
2^220を221で割った時の余りを...
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
マクローリンの定理でのθが含ま...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
合同式と倍数
-
定理と公式??
-
△ABCの∠Aの2等分線と辺BCとの交...
-
ピタゴラス数について。
-
nを整数とする。このとき、n^2...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
演算子法なににつかう
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
2^220を221で割った時の余りを...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
実数の整列化について
-
至上最難問の数学がとけた
-
定理と法則の違い
-
Sku
-
三角形の3辺の長さの性質の証明
-
△ABCの∠Aの2等分線と辺BCとの交...
-
三角関数を用いて地球の大きさ...
-
ピタゴラス数について。
-
二次合同式の解き方
-
長さがマイナスの答えのとき、...
-
マクローリンの定理でのθが含ま...
-
パップスギュルダンの定理について
-
ファルコンの定理は解かれまし...
おすすめ情報