8のx乗＝mod11の答えは？

8のx乗＝mod11の答えは？

質問者からの補足コメント

• 8のx乗＝5〔mod11〕の値です

    補足日時：2020/07/30 13:44

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/30 13:26

イコールに右辺が無いが、

　8のx乗＝(何)　mod11
という話なのか？

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/07/30 13:38

全く意味をなしてない質問だよ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/30 14:00

＞ 8のx乗＝5〔mod11〕の値です

8^x = 5 (mod11) を満たす自然数 x の値を求めろ
という問題で ok？

mod 11 で有限範囲の話なんだから、やってみりゃいいじゃん。
x=1 のとき、8^1 = 8 (mod 11),
x=2 のとき、8^2 = 16 = 5 (mod 11)
ここで終わったと思たらあかん。続きをやると、
x=3 のとき、8^3 = 5・8 = 40 = 7 (mod 11),
x=4 のとき、8^4 = 7・8 = 56 = 1 (mod 11).

これで 8^4 = 1 (mod 11) であることが判ったから、
一般に自然数 m,k について
8^(m+4k) = (8^m)(8^4)^k = 8^m (mod 11).
m は 1,2,3,4 だけを考えればいい。

以上から、
8^x = 5 (mod11) を満たす自然数 x は、
4 で割ると 2 余る数全てということになる。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/30 14:10

ああ、計算間違いしとる。

x=1 のとき、8^1 = 8 (mod 11),
x=2 のとき、8^2 = 64 = 9 (mod 11),
x=3 のとき、8^3 = 9・8 = 72 = 6 (mod 11),
x=4 のとき、8^4 = 6・8 = 48 = 4 (mod 11),
x=5 のとき、8^5 = 4・8 = 32 = 10 (mod 11),
x=6 のとき、8^6 = 10・8 = 80 = 3 (mod 11),
x=7 のとき、8^7 = 3・8 = 24 = 2 (mod 11),
x=8 のとき、8^8 = 2・8 = 16 = 5 (mod 11),
x=9 のとき、8^9 = 5・8 = 40 = 7 (mod 11),
x=10 のとき、8^10 = 7・8 = 56 = 1 (mod 11).

これで 8^10 = 1 (mod 11) であることが判ったから、
一般に自然数 m,k について
8^(m+10k) = (8^m)(8^10)^k = 8^m (mod 11).
m は 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 だけを考えればいい。

以上から、
8^x = 5 (mod11) を満たす自然数 x は、
10 で割ると 8 余る数全てということになる。