4の100乗を、7で割った余りという問題なのですがこの解説を見てもうまく理解が出来ないので分かりやす

4の100乗を、7で割った余りという問題なのですがこの解説を見てもうまく理解が出来ないので分かりやすい説明をお願いします。

No.8 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/03 19:08

まず、貴方は、中学生ですか？高校生ですか？

高校生なら、(a+b)^n ということで、二項定理でわかりますね！
中学生と仮定すれば
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a(a+2b)+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2・b+3a・b^2+b^3= a・文字式+b^3
…………
(a+b)^n=Σr;0…n nCr・a^n-r・b^r となりますが、
=a・文字式+b^nとなりますから ……(1)
ですから、
4^3=64=7・9+1 ですから、今
a=7・9 ,b=1とすれば、(1)から
4^3^33=(4^3)^33=(7・9+1)^33=7 の倍数+1^33=7の倍数+1
∴4^100=4・4^99=4・(7の倍数+1)=7の倍数+4・1=7の倍数+4

ですから、これを合同式で書けば
4^3=64=63+1=7・9+1≡1 (mod7)
∴4^100=4・4^(3・33)≡4・1≡4 (mod7)となるわけです。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/02 19:02

「４倍してから７で割った余りをだす」という操作を「→」と書くことにすると、

1→4→2→1→4→2→1→…　周期 3 で繰り返していますね。
この操作は、次の項がひとつ前の項だけできまり、しかも各項は 7 で割った
余りで値の範囲が 7 個しかありませんから、順に → を計算してゆくと
どこからか周期的に繰り返すようになります。それが、やってみる前から
判っているのでした。具体的な周期 3 は、やって見るしかないですけど。
で、この周期 3 を前提とすると、1 から 100 回 → した先の項は何ですか？

4^3 を 7 で割った余りが 1 であることを使った計算は、この → が
4^1 を 7 で割った余り → 4^2 を 7 で割った余り → 4^3 を 7 で割った余り → …
と計算してく操作であることを利用しているのです。

No.6 回答者： springside 回答日時： 2019/02/02 18:54

合同式に目をくらまされてるから判らないんでしょ。

合同式というのは単なる表現方法なだけで、「要するに何を言っているのか」を理解しないとダメ。

100=33×3+1だから、4³を割った余りが33回繰り返されて、1回だけ残る。
その1回というのは、4¹=4だから、それを7で割った余りは4ということ。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/02 17:00

チョット間違えたから再度

合同式の計算をマスターすれば簡単に解ける。
a≡bの時、aⁿ≡bⁿ

また、1ⁿ=1だから、2の倍数で、7で割ったら1余る数を見つけると、８。

8≡1(mod7)の関係がある。

4¹⁰⁰=2²⁰⁰ =2³˟⁶⁶⁺² =2³˟⁶⁶×2²=(4³)⁶⁶×4 = 8⁶⁶×4

この一番右に8≡1を代入すると=1⁶⁶×4=4

全部つなげると、4¹⁰⁰≡4(mod7)

余りは4だと解る。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/02 16:55

合同式の計算をマスターすれば簡単に解ける。

a≡bの時、aⁿ≡bⁿ

また、1ⁿ=1だから、2の倍数で、7で割ったら1余る数を見つけると、８。

8≡1(mod7)の関係がある。

4¹⁰⁰=4³˟³³⁺¹=4³˟³³×4¹=(4³)³³×4 = 8³³×4

この一番右に8≡1を代入すると=1³³×4=4

全部つなげると、4¹⁰⁰≡4(mod7)

余りは4だと解る。

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2019/02/02 16:48

整数p1,p2をそれぞれmで割った余りを q1,q2 とすると、

p1=am+q1、p2=bm+q2 が成り立つので、
p1p2=(am+q1)(bm+q2)=ab・m^2+(a+b)m+q1q2
※余りの積 q1q2はmより大きくなる場合があることに注意！

すると、「2数の積p1p2をmで割った余り」=「それらの余り同士の積q1q2をmで割った余り」…① となります。
とくにp1=p2の場合、「p1^2をmで割った余り」=「q1^2をmで割った余り」… ②となり、
さらに①・②を繰り返し使用ことで、「p1^nをmで割った余り」=「q1^nをmで割った余り」といえます。

この解答では、「4^3=を7で割った余りが1」を利用していますが、
例えば「4^2=16を7で割った余りが2」などを利用しても
（時間は多少かかりますが）同じ答えにたどり着けます。

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/02/02 16:47

質問者さんはこの説明の中の何が分かりませんか？

そこを見極める努力をしましょう。

　4¹⁰⁰＝4⁹⁹×4＝(4³)³³×4
となる事が分からないのか、

　(4³)³³
が
　1³³
になる事が分からないのか、

　1³³×4÷7
が余り4になる事が分からないのか、

…そこんところをよく考えてみましょう。


・・・

まあ、分かりにくいのは
　(4³)³³
が
　1³³
になる事なんだろうけど、
分からないなら計算してみればいい。

　　(4³)³³
　＝(7×9+1)³³
ここで求めたいのは余りの数なので「９」は任意の数を７で割った整数「ｎ」と定義します。
すると、
　　(4³)³³
　＝(7ｎ+1)³³
こう表現できる。

この後、この括弧を展開するとどうなるかですね。
全部展開するのは面倒なので、(7ｎ+1)³ を展開して展開されるルールを確認しましょう。
　　(7ｎ+1)³
　＝(7ｎ+1)(7ｎ+1)(7ｎ+1)
　＝(7ｎ²+7ｎ+7ｎ+1²)(7ｎ+1)
　＝(7ｎ²+2×7ｎ+1²)(7ｎ+1)
　＝7ｎ³+2×7ｎ²+7×n+7ｎ²+2×7ｎ+1³
　＝7ｎ³+4×7ｎ²+3×7ｎ+1³
こうなります。
さて、
ここで確認して欲しいのは
　ｎを含める項は全部7で割り切れる
ということ。
（「ｎ」を含む項は必ず「7ｎ」と言う形になっている）
そんなわけで、
　(7ｎ+1)³³
を展開すると、
　(7×7で割った数)³³+(7×7で割った数)³²+…+(7×7で割った数)¹+1³³
なり「+1³³」以外は7で割れることになる。
すなわち
　7ｎ+1³³
になる事が分かる。
ここ重要。
そして解説している賢い人はここまでを一瞬で見極めて端折るので、賢くない人が戸惑うのは当然で説明不足。

あとは、
　(7ｎ+1³³)×4÷7
これってどうなる？
ってことだ。
余りの数を求めるのに「7ｎ」は不要だろ。

・・・
こういうことを一瞬で判断できる人って実は少ない。
そしてそれを順序立てて説明できる人も少ない。
みんな「分かったつもり」の上で答えるからね。

No.1 回答者： 物なやら 回答日時： 2019/02/02 16:17

合同式って調べてみたら理解できると思う。