整式 P(x)を(x-1)²で割ったときの余りが4x-5で，x+2で割ったときの余りが 一4である。

整式 P(x)を(x-1)²で割ったときの余りが4x-5で，x+2で割ったときの余りが 一4である。
P(x)=(x+2)B(x)-4・・・②
P(x)を(x-1)²(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

画像はその解答です。
赤線を引いたところなんですけど、なぜ
a(x-1)²を足すのか分かりません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/22 02:02

最終的に P(x) を (x-1)²(x+2) で割ったときの余りを求めるのだから、

とりあえず P(x) = (x-1)²(x+2)Q(x) + R(x) と置いてみましょう。
Q(x) は整式、 R(x) は 3次未満の整式です。
ここに、 P(x) を (x-1)² で割ったときの余りが 4x-5 で，
x+2 で割ったときの余りが -4 という情報を盛り込むと、

R(x) は (x-1)² で割ったときの余りが 4x-5 で，
x+2 で割ったときの余りが -4 になる 2次以下の整式ということになります。
R(x) = Ax² + Bx + C と置いて計算しても答えは出ますが、
R(x) = A(x-1)² + B(x-1) + C と置いたほうが少し手間が減ります。　←[1]

(x-1)² で割った余りを考えると
B(x-1) + C と 4x-5 が整式として等しいので、
係数比較から B = 4, -B + C = -5 より C = -1.　←[2]
x+2 で割ったとき剰余定理から
-4 = R(-2) = A(-2-1)² + 4(-2-1) - 1 = 9A -13 より A = 1.

質問の ⑦ は [2] を [1] へ代入した式です。
「a(x-1)² を足す」とかいう話ではないです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/21 21:54

訂正

x-2
でなくて
x+2

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/21 21:51

P＝q(x)・(x-1)²+(4x-5)…(あ)

のqの部分を変形します
q(x)をx-2で割った時の商をQ(x)
あまりをa(一次式で割っているから、あまりは定数)
とすると
q(x)＝Q(x)(x-2)+a…(い)
(い)を(あ)へ代入
P＝{Q(x-2)+a}(x-1)²+(4x-5)
＝Q(x-2)(x-1)²+a(x-1)²+(4x-5)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/21 21:01

そこの画像の赤線の a(x-1)^2 がないと,

P(x) を 3次式 (x-1)^2(x+2) で割った余りが 4x-5
という意味になるよね.

どうしてそうなるといえる?