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nを自然数とすると、2^nを3で割った余りはどうなりますか?

質問者からの補足コメント

  • 2^nは、2のn乗のことです。

      補足日時:2015/09/29 19:23
  • n^2ではなくて、2^nです。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/29 19:38
  • もう少し詳しく知りたいです。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/29 20:13

A 回答 (7件)

いや、考え方がたぶんのっけから間違っていて。


どうなりますか?じゃないんですよ。どうなるか、自分で手を動かして、具体的に見てみるんです。
n=1,2,3,.....,と具体的に入れていって、どんな様子か見てみる。
これが第一歩。
何だか公式があるんでしょ?じゃないですよ。
次に、その現象から、当然推測できることを、確かにそうだと証明してやる。
この技術が、例えば帰納法だったりするんです。
大事なのは、まず自分で手を動かしてみる。
次に、その結果から、法則を掴む。
そして、そいつを証明する。
これを、証明できるんだよ、というテクニックを確かな物にしておくか、確かな物だと思い込むかするんです。
すると、手を動かして法則を掴んでやれば、後はどうにかなるから、手を動かそう、法則を掴んでみよう、となるのです。
証明できるんだよ、というところが不確かだと、何だか便利な公式があるのでは?ということになりがちですが、違います。
帰納法のテクニックなどをまず確かな物に。
そして、その応用として、上記のような流れがあるんだ、ということを、こういう問題演習をしつつ身に付けることです。
具体的に数字を入れてみないと、余程の達人以外には、何のことやら判りませんよ。
少なくとも凡人なら、具体的に手を動かしてみる必要があるのです。
何だかこういう問題が解けちゃう人は、数字を入れなくても判っているんだろう、というのは違います。
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2^1 余り 2


2^2 余り 1


2^n = 3m + 1 (余り1)のとき
2^(n+1) = 6m + 2 (余り2)

2^n = 3m + 2 (余り2)の時
2^(n + 1) = 6m + 4 = 3(2m + 1) + 1 (余り1)

つまり、n が奇数の時、余り 2
n が偶数の時、余り 1
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(2^nを3で割った余り)をr[n]、(2^nを3で割った商の整数部分)をd[n]としますと、


  (2^n) = 3d[n] + r[n]
であり、r[n]は0,1,2のどれか。
 両辺を2倍すると
  (2^(n+1)) = 3(2d[n]) + 2r[n]
一方、
   (2^(n+1)) = 3d[n+1] + r[n+1]
ですから、
  r[n+1] =(2r[n]を3で割った余り)
であると分かります。
 さて、
  r[0] = 1
である。だから、
  r[1] =(2r[0]を3で割った余り) =(2を3で割った余り) = 2
です。さらに
  r[2] =(2r[1]を3で割った余り) =(4を3で割った余り) = 1 = r[0]
  r[3] =(2r[2]を3で割った余り) =(2を3で割った余り) = 2 = r[1]
従って、nが幾らであれ、2増やすと元通り。つまり
  r[0] = r[2] = r[4] = … = r[2k]
  r[1] = r[3] = r[5] = … = r[2k+1]
ってことです。
 なので結局、任意の自然数kについて
  r[2k] = 1
  r[2k+1] = 2
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適当に幾つかの数で調べて帰納法で証明する方法と展開する方法の2つです



1) 2,4,8,16,32の余りを調べる方法
余り調べてみたら、順に2,1,2,1,2となるので、たぶんこれの繰り返し
要するに
i)n=2k-1の時は2である
ii)n=2kの時は1である
この2つの証明

i-i) n=1の時 2^1 = 2 = 3*0+2 なので成り立つ
i-ii) n=2k-1で成り立つとすると、
2^(2k-1) = 3A+2とおける
2^(2(k+1)-1) = 2^(2k+1)=2^(2k-1)*2*2 = (3A+2)*4 = 12A + 8 = 12A + 6 +2 = 6(2A+1) +2
よって、n=2k+1でも余りが2となる。ゆえにnが奇数の時は余りは2

ii-i) n=2の時 2^2=4 = 3*1 +1 なので成り立つ。(2^0=1でも可)
ii-ii) n=2kで成り立つとすると、2^2k = 3B+1とおける。
2^(2(k+1)) = 2^(2k+2) = 2^2k*2*2 = (3B+1)*4 = 12B+4 = 12B+3+1 = 3(4B+1)+1
よって、n=2k+2でも成り立つ。ゆえにnが偶数の時は余り1


2) 展開する方法
2 = 3-1なので、2^n = (3-1)^n
これを展開すると、
3^n + nC1*2^(n-1)*(-1) + ... + (-1)^n
ここで、最後の項以外は3が一つ以上掛けられているため3の倍数である。つまり3Cとおける
2^n = 3C + (-1)^n
nが奇数の時、(-1)^n = -1. よって、2^n = 3C-1. ゆえに余りは2.
nが偶数の時、(-1)^n=1. よって2^n = 3C+1. ゆえに余りは1.
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この回答へのお礼

参考にします。ありがとうございます!

お礼日時:2015/09/29 22:28

kで割った余り、という問題が出たら


k・m + r
k・m - r
という形をうまく使うことができないか、考えてみるとよいでしょう。

2 = 3 - 1ですか
2^n = (3 - 1)^n
です。
x=3, y=-1 とすれば
(x + y )^n
です。

これをいろいろと変形していけば 3 ・ w + z の形になります
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

参考にします。ありがとうございます!

お礼日時:2015/09/29 22:28

n は自然数だから、


n=1 のとき 2^n=2^1=2   だから   2÷3=0・・・2  余り 2
n=2 のとき 2^n=2^2=4   だから   4÷3=1・・・1  余り 1
n=3 のとき 2^n=2^3=8   だから   8÷3=2・・・2  余り 2
n=4 のとき 2^n=2^4=16   だから  16÷3=5・・・1  余り 1
n=5 のとき 2^n=2^5=32   だから  32÷3=10・・・2  余り 2
n=6 のとき 2^n=2^6=64   だから  64÷3=21・・・1  余り 1
n=7 のとき 2^n=2^7=128  だから  128÷3=42・・・2  余り 2
   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このことから、
n が奇数のとき n^2 を 3で割った余りは 2
となり、
n が偶数のとき n^2 を 3で割った余りは 1
になります。
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mを自然数とすると、n = 3m, 3m + 1, 3m + 2と表せる。



【n = 3mの時】
n^2 = (3m)^2 = 9m^2 = 3(3m^2)より、n^2は3の倍数。

【n = 3m + 1の時】
n^2 = (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1より、
n^2を3で割った時の余りは1。

【n = 3m + 2の時】
n^2 = (3m + 2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 = 3(3m^2 + 4m + 1) + 1より、
n^2を3で割った時の余りは1。

したがって、n^2は3で割った余りは1。
この回答への補足あり
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