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余りは必ず正でないといけないのでしょうか?

例えば、10÷3は「3余り1」ですよね。これが「4余り-2」だと間違いでしょうか?

例えば、(-10)÷3は「-3余り-1」なのか、「-4余り2」なのか、どちらが正しいのでしょうか?

ちなみにExcelでは、前者は「3余り1」、後者は「-4余り2」と返します。

gooドクター

A 回答 (7件)

皆さん書いておられる通り、これは


余りの定義の問題なのですが、
「割り算の定義の問題」と
言い替えてみると、しっくり来る
ような気がします。

正の余りが出る割り算と
負の余りが出る割り算は、
同じ ÷ の記号で書いていても、
異なる演算だ という訳です。

ひと括りに割り算といっても、
いろいろな割り算があるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。やはり定義次第なんですね。

お礼日時:2009/06/25 13:16

「余り」というものの定義によります。


小学校では定義から細かくは教えませんが、
普通、余りとは、割られる数・割る数に対して
  (割られる数) = (商)*(割る数)+(余り)
    (ただし、商は整数で、0≦(余り)<(割る数))
となるような数のことです。
この定義に従えば、但し書きの部分で0以上としてしまっているので、当然、負の余りは無いということになります。


しかし、これとは違う定義として、#3の方のいうように
余りとは、割られる数・割る数に対して
  (割られる数) = (商)*(割る数)+(余り)
    (ただし、商は整数で、0≦|余り|<|割る数|であり、余りと割る数は同符号)
という定義を採用すれば、割る数が負の場合には余りも0以下であるということになるとおもいます。


さらに、こちらの定義もよく聞くのですが、#5の方のように、絶対的最小剰余といって、
  (割られる数) = (商)*(割る数)+(余り)
    (ただし、商は整数で、|余り|が最小となるように取る)
という定義を採用すれば、場合によって余りが正だったり負だったりします。
また、|余り|=|割る数|/2の場合には、余りが二通りになります。


以上のように、余りの定義の仕方は似たようなのがいくつかありますが、結局、負の余りを許す定義か許さない定義かで全てが決まります。
どの定義を採用すべきかは解きたい問題によって、応用したい分野によって使いやすいものを選べばよいことです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。やはり定義次第なんですね。

お礼日時:2009/06/25 13:17

この辺は「余り」の定義によります.


極端にいえば「正数同士の余り」を負とすることもありえます (「絶対値最小」ととれば負の数にもなりえる) し.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。やはり定義次第なんですね。

お礼日時:2009/06/25 13:17

答えになっていませんが、計算の都合上、「マイナスの余り」を何の断りも無く導入することがあります。



例えば 41を7で割った場合、普通、5あまり6です。
ここで、41を100乗したものを7で割った余りを算出したい場合、41の100乗を計算しなくても、6を100乗を計算すればいいことが知られています。でも、それにしたって計算するのは大変です。

こうした場合、 41÷7=6あまり-1
とすれば、-1の100乗を計算すればいいことになるので、
  (-1)^100=1   1÷7=0あまり1
と瞬時に計算できます。(もっとも、この例では6の2乗を7で割ると1余ることに気づけば、-1を導入しなくても簡単に計算できるので、あまり良い例ではありませんでした)
そんなわけで「マイナスの余り」は計算途中で登場することがあります。

でも基本的に余りはプラスか0です。
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Excel の mod 関数は除数と同じ符号の数を返します。


よって負もありえます。
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こんにちは。



>>>例えば、10÷3は「3余り1」ですよね。これが「4余り-2」だと間違いでしょうか?

間違いです。
なぜならば、正の整数同士の割り算では、あまりは正の整数でなければならないという約束があるからです。
単に、約束の問題です。

(-2をあまりにするほうが便利な場合は、新たに約束をつくればよいだけの話です。)


>>>例えば、(-10)÷3は「-3余り-1」なのか、「-4余り2」なのか、どちらが正しいのでしょうか?

私が知る限りでは、約束がありません。


>>>ちなみにExcelでは、前者は「3余り1」、後者は「-4余り2」と返します。

それは、ExcelのMOD関数の定義(約束)がそうなっているからです。
そうでない約束も作ろうと思えば、自由に作れます。

似た例としては、四捨五入があります。
4.5 の小数第1位を四捨五入すると 5 になりますが、
-4.5 の小数第1位を四捨五入したときに -4 にするか -5 にするかは、自由に決めればよいです。


そして、冒頭の質問ですが、
>>>余りは必ず正でないといけないのでしょうか?

正の整数同士の割り算では正でないといけないという約束がありますが、
高校数学で習う、多項式÷多項式 の割り算では、
余りにマイナスが付いたり、エックスが残ったりします。

<例>
(x^3 + 3x^2 + 3x - 4) 割る (x+1)
 = (x+1)^2 あまり -5


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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まず負の余りっていう日本語がおかしいのでは?


余り-1では余ってはないですよね、むしろ足りないです。
よって余りは必ず正でないと余りとは言いません。
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