数学の答案についてです (1)21とお互いに素である1500の約数の個数を求めよ。 (2)1から10

数学の答案についてです
(1)21とお互いに素である1500の約数の個数を求めよ。
(2)1から100までの整数のうちに、約数の個数が偶数個の整数はいくつあるか
この2問の解答として不適切な部分があれば教えていただきたいです
(1)
21=7✖︎3であるから3の倍数でない約数の個数を数える
1500を素因数分解すると2^2✖︎3✖︎5^3
3つのグループA,B,Cに分けると
A{1,2,2^2} B{1,3} C{1,5,5^2,5^3}
3つのグループそれぞれから一つずつ要素を取り出してかけ合わせたものが1500の約数と一対一に対応する
よって
Bグループから3を取り除いた組み合わせ方の数が21とお互いに素である約数の個数である
ゆえに
3✖︎1✖︎4=12(個)---------(答)

(2)
ある整数をNとしてNがa^p✖︎b^q✖︎c^r•••に素因数分解されるとき、Nの約数の個数は
(p+1)(q+1)(r+1)•••である
よって
Nの約数の個数が奇数であるための、条件はp,q,r,•••が全て偶数であることである
すなわち
Nの約数の個数が奇数
→←p,q,r,•••の全てが偶数
→←N=a^p✖︎b^q✖︎c^r•••は平方数である
したがって
Nの約数の個数が偶数
→←Nは平方数以外　と言いかえれる
よって
1から100までの100個の整数から1^2,2^2•••10^2の10個の平方数を取り除いて100➖10=90(個)------(答)

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/09 10:54

(1)

21=7✖︎3であるから3の倍数でない約数の個数を数える<<<何の約数を数えるのか示さないと説明不足。

(2)
ある整数をNとしてNがa^p✖︎b^q✖︎c^r•••に素因数分解されるとき、Nの約数の個数は
(p+1)(q+1)(r+1)•••である
よって
Nの約数の個数が奇数であるための、条件はp,q,r,•••が全て偶数であることである
すなわち
Nの約数の個数が奇数
→←p,q,r,•••の全てが偶数＜＜＜ここは前に述べたことと重複しています。
→←N=a^p✖︎b^q✖︎c^r•••は平方数である　＞＞＞よってNの約数の個数が奇数であるための条件はp,q,r,•••が全て偶数であることである。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このとき、N=a^p✖︎b^q✖︎c^r•••は平方数である
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
したがって
Nの約数の個数が偶数
→←Nは平方数以外　と言いかえれる
よって
1から100までの100個の整数から1^2,2^2•••10^2の10個の平方数を取り除いて100➖10=90(個)------(答)　
　　　＞＞＞　別の記述として以下のようにしても良さそうです
１から１００までの整数で　平方数は1^2,2^2•••10^2の10個あるから、約数の個数が奇数である整数Ｎも１０個あることになる
ゆえに、約数の個数が偶数個である整数は　100-10=90個　（答え）

この回答へのお礼

よくわかりました！ありがとうございました！

お礼日時：2020/05/09 21:20

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/09 12:23

証明の大筋は良いと思います。

気になるところが２点あります。

（１）いきなり1行目では何を言っているのかわかりません。
21と1500をそれぞれ素因数分解したものを並べてから、「1500の約数で３の倍数でないものの個数を数えれば良い」となります。

（２）約数が偶数個の整数の個数を求める問題ですが、いきなり奇数個の場合について書かれています。
余事象を考えることをはっきりと言った方がわかりやすいです。
3行目に「約数の個数が偶数の場合を考える問題であるが、余事象である約数の個数が奇数の場合を考える」とことわります。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/05/09 10:56

どちらも、1と自分自身も約数である事を見落としてます。