分母を810,分子を1から809までの整数とする分数の集合{1/810,2/810,…,809/81

分母を810,分子を1から809までの整数とする分数の集合{1/810,2/810,…,809/810}を作る。
この集合の要素の中で約分ができないものは何個？

答えは216個なのですが、なんでそうなるのか分かりません。解説お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 12:41

ごめんなさい、ヒントのようにやるより

以下のようにやった方が楽ですね

810=2x3⁴x5
だから、
分子が２の倍数のものは約分できてしまう
その個数は810までの中に
　810÷2=405こ
同様に約分できてしまう者は
３の倍数・・・810/3=270
5の倍数・・・810/5=162
合わせて　405+270+162=837
ただしこの中には　２と3の公倍数6
同じく公倍数,10,15、30などが重複して数えらているんで
重複を取り除くと
2または3または５の素因数を含むもの
=2の倍数＋３の倍数+5の倍数
-6の倍数-10の倍数-15の倍数
+30の倍数
=405+270+162-135-81-54+27
=594
これが　約分できてしまう分子の個数
ゆえに　810-594=216こ の分子は約分できない
となります

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 11:01

ヒントそのニ

素因数分解の結果
約数は2.3.5...などとわかる
→分母810の分数が約分出来た場合
分母の候補も2.3.5...
→約分して1/2になる数は
約分の前405/810であった

このように、約分結果から
約分前の分数を割り出していくと
約分出来る分数の個数がわかる

この回答へのお礼

ありがとうございます。頑張ります

お礼日時：2022/06/18 11:12

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 10:40

ヒント

810を素因数分解して、その約数の個数を計算する