分数の計算の途中で約分することについて

なぜ分数の計算(掛け算、割り算)の場合は途中で約分ができるのですか？
約分する時はなぜ分子にある数のうちのひとつと分母にある数のうちのひとつ同士を同じ数でわっていいのですか？

先日同じような質問をした際に、掛け算で繋がれているところはひとつの数とみなすから、片方の数だけを約分したら、全体を約分したことになる。という回答があったのですが、あまり理解できませんでした。
どうしてこのようなことができるのかを分かりやすく教えてください。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/04 14:53

aB/(aY) = B/Y はなぜ正しいか？

aCaD/(aY) = CD/Y はなぜ間違っているか？
についてですね。

上の式が正しいのは、
Z で割ることは 1/Z を掛けることと同じなので
aB/(aY) = a・B・(1/a)・(1/Y) = a・(1/a)・B・(1/Y) = (a/a)・(B/Y) = B/Y
となるからです。

下の式が間違っているのは、
上の式で B = CaD としてみれば解ると思います。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/06/04 14:49

実際にやってみればよいだろ。

(2×2×3)/2　は12/2だから6

2で約分、分子の2全部を約分したら(1×1×3)/1=3

答が違うだろ。(2で2回割る=4で割るのと同じ）

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/04 14:29

約分とは分母の式と分子の式を同じ数で割ることです

（分母の式と分子の式を同じ数でなら割り算してよいというのがルール）

だから
3a分の6ax9b(分母が3aで分子が6ax9b)について
分母分子を３で約分するつもりで
3aを3で約分
6aを3で約分
9bを3で約分して
a分の2ax3bとしてしまうのは
分子の式に対して
6a÷3x9b÷3
という割り算をしたことになり
３で2回割ってしまっていることになります
３で2回割るという事は　9で割ったことに等しく
分母は３で割り算、分子は9で割り算しているので
初めに書いたルールに違反しているのです

正しくは
分母の式を3で割り算して
3a÷3=a　（・・・割り算、すなわち約分後の分母はa)
分子の式も３で割り算して
6ax9b÷3=6ax3b (・・・約分後の分子は　6ax3b(=18ab))
これならルールに違反していないのです
３で約分するとはこういうことです

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/04 14:24

他の質問によれば質問者様の考え方は例えば

(6×8)/2

={(2'×3)×(2"×4)}/2

と言う分数(注:複数ある分子の2を区別するために目印としてダッシュ等を付けましたが意味は普通の2と同じです)を約分する時に、分母の2と2'および2"を共に約分して

{(1'×3)×(1"×4)}/1

=3×4

とするべきではないか、と言う事ですよね。直接の回答にはなりませんが、その考え方だとおかしな話になる事を説明させていただきます。

ある偶数をpとし、そして

(2'×2"p)/2…①

と表される分数を考えると、質問者様の考え方では分母の2と2'および2"が共に約分できるわけですから、①式は以下のようになるはずです。

(1'×1"p)/1=p

ところでpは偶数なので、1以上の自然数nを用いて以下のように表されます。

p=2n

これを①式に代入して整理すると

(2'×2"p)/2

={2'×(2"×2"'n)}/2

=(2'×2"×2"'×n)/2

質問者様の考え方では分母の2と分子の2'等が約分できる事になるので実行すると

(1'×1"×1"'×n)/1=n

同じ分数のはずなのに解釈を変えただけで違う数になってしまいました。これはすなわち「質問者様の約分の考え方が間違っている」と言う事になります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/04 13:40

分数の意味は、分子÷分母 です。

約分とは 分子と分母を 同じ数で割る と云う事です。

分子が 2x6 で 分母が 4x5 の場合、分母子を 4 で割ります。
分子 2x6÷4=3, 分母 4x5÷4=5 ですから、
約分の結果は 3/5 になります。
（ 3/5 は 5分の3 です。パソコンでは 分子を先に書きます。）

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/06/04 12:32

約分しても結果が同じなので計算が楽になります。

例：(9x7x6)/(3x2x1)＝9x7=63

もっと丁寧にすれば
(9x7x6)/(3x2x1)＝(9x7x6)/６＝9x7=63
2項目ですが、6倍して6で割ってます。
どんな数でも6倍して6で割ったら同じです。

加減算でも、3足して3引いたら、同じ数です。
そういう話です。