分数の約分について

Question

分数の約分について。
こんにちは。
素朴な疑問なんですが、「約分」は数を簡単にすることですよね。
分数の足し算のときに、足した答えが「約分」できれば約分する。
たとえば、「６分の３」は「２分の１」のようにしますよね。
これは分母と分子を同じ数で割ってますよね。
コレはわかります。

しかし掛け算の場合、「３分の４」×「１６分の２１」の場合、
「３と２１」を約分して、「１６と４」を約分します。

足し算の場合「分母と分子」（上と下）を割ったのに、
掛け算になると「左の分母」と「右の分子」を割って、同じように「左の分子」と「右の分母」を割っています。
なぜこのように（斜めに）約分しているのでしょうか？

説明が下手ですみません。

算数や数学に詳しい方には、バカな質問かもしてませんが、
詳しい方、分かる方よろしくお願いします。

d-l_-b · Accepted Answer

掛け算は交換しても成り立つからです。
2×3＝3×2の様に。
4/3 × 21/16 = (4×21)/(3×16)=(21×4)/(3×16)
=21/3 × 4/16
このように式変形をするのは面倒なので
（斜めに）約分が出てきます。

banakona · Answer

＞掛け算になると（中略）なぜこのように（斜めに）約分しているのでしょうか？

<理由>
１．約分してもいいから。
２．約分したほうが計算が簡単だから。

１に関して：足し算の場合、斜めに約分することができません。、「３分の４」＋「１６分の２１」で、「３と２１」を約分したり「１６と４」を約分したりすることは許されません。「掛け算では許されるからやっている」というのが１つの理由です。
（許される理由：「３分の４×１６分の２１」は、４÷３×２１÷１６という意味で、これは４×（１／３）×２１×（１／１６）と同じです。掛け算は順序を変えても同じですから４×（１／１６）×２１×（１／３）となり、分数に戻すと「１６分の４×３分の２１」。
ここで約分すれば分母と分子で行うことになり、「斜め」ではありません。斜めの約分は「これらの操作を、はしょって行なった」と思ってください）

２に関して：たとえ掛け算でも、斜めに約分しなくても構いません。（約分したくてもできない場合が結構あるし。）質問者さんの「３分の４」×「１６分の２１」だって、普通に掛け算して「４８分の８４」を出して、それから分母と分子を１２で約分してもいいんです。
でも「４８分の８４」が例えば３で約分できることに気付かない人がいるかもしれません。４８とか８４という大きな数にする前に約分しておけばこうしたミスを防げるでしょう。
というわけで「計算が簡単だから」というのがもう一つの理由です。

sanori · Answer

「斜めでない約分」ができるということは、
６分の３　×　１４分の７
というように、
そもそも、掛け算をする前の、元の分数が約分できてしまうということです。

しかし、そのような掛け算の問題は、通常出題されません。

さて、
ご質問文にある
３分の４　×　１６分の２１
は、
４／３　×　２１／１６
と書けば、「斜めに約分」しているように見えますが、
これは、
（３×１６）分の（４×２１）
つまり、
（４×２１）／（３×１６）
と書くことができますから、
分子と分母を「÷３」と「÷４」の約分をして、
（４÷４×２１÷３）／（３÷３×１６÷４）
＝　（１×７）／（１×４）
＝　７／４

別に「斜めに約分」という法則みたいなことがあるわけではなく、
都合の良いところを÷３や÷４しているだけです。

koko_u_ · Answer

4/3 × 21/16 = 84/48

ですが、これを約分するのに、結局 84 = 4×3×7、48 = 3×4×4 などと分解する必要があります。

もともと 4×21 とか 3×16 とか分解していたものを掛け算してまたもどすのは面倒なので、先に約分しているだけさ。

分数の約分について

掛け算は交換しても成り立つからです。

＞掛け算になると（中略）なぜこのように（斜めに）約分しているのでしょうか？

「斜めでない約分」ができるということは、

4/3 × 21/16 = 84/48

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