数学！計算の仕方もお願いします。

（1）17の13乗＋13の17乗の一の位の数を求めよ。
（2）840を素因数分解せよ。
（3）126と144の最大公約数を求めよ。
（4）自然数の2乗を7で割ったとき、余りとして現れない数をすべて求めよ。
（5）7で割ると2余る数の2乗と、7で割ると、3余る数の3乗を掛けた数を、7で割ったときの余りを求めよ。

No.2 回答者： j-mini27 回答日時： 2013/01/31 14:01

(1)について

　1の位を求める場合は、10の位より上は無視していいです。
　10の位に整数をかけても1の位に影響を与えることはないからです。
　　つまり17²＝ 289
　　　　　17³ ＝4813
　　　　　17⁴＝83521
　　となっていきますが、1の位だけ考えて7⋇7＝49　の9
　　　　　　　　　　　　これに7をかけて9⋇7＝63　の3
　　　　　　　　　　　　これに7をかけて3⋇7＝21　の1
　　という計算で1の位だけは求めることができます。
　　　1の位だけ書いていくと
　　　　17については、7，9，3，1を繰り返します
　　　　13については、3，9，7，1を繰り返します
　　　ちなみに、17の13乗の1の位は7
　　　　　　　　13の17乗の1の位は3です。
(2)について
　840＝2³⋇3⋇5⋇7
(3)について
　126と144をともに訴因数分解します。
　　126＝2⋇3²⋇7
　　144＝2⁴⋇3²
　このうち共通部分である2⋇3²＝18が最大公約数です。
(4)について
　まず、1～7を2乗した場合を考えます。
　　　　1²＝1　　1÷7＝0…1
　　　　2²＝4　　4÷7＝0…4
　　　　3²＝9　　9÷7＝1…2
　　　　4²＝16　16÷7＝2…2
　　　　5²＝25　25÷7＝3…4
　　　　6²＝36　36÷7＝5…1
　　　　7²＝49　49÷7＝7…0
　これ以上の数は、同じ余りの繰り返しになります。
　　これ以上の数字は、7n＋a（aは1から7の整数）となり
　　その2乗は49n²＋14an＋a²です。
　　49n²＋14anは7の倍数なので余りはありません。
　　a²（aは1から7の整数）の余りは上記のとおり0，1，2，4の4種類です。
　よって、余りとして現れない数は0，1，2，4を除く全ての数です。
(5)について
　結論から言うと、2²＝4と3³＝27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。
　説明をしていくと
　7で割ると2余る数は7n＋2、7で割ると3余る数は7m＋3（n，mは整数）と表すことができます。
　　結論から言うと、2²＝4と3³＝27の積である108を7で割った余り3が答えとなります。
　　（7n＋2）²＝49n²＋28n＋4
　　（7m＋3）³＝343m³＋441m²＋189m＋27
　このうち（49n²＋28n）と（343m³＋441m²＋189m）は7の倍数なので
　　　49n²（343m³＋441m²＋189m＋27）は7の倍数で、7で割ったときの余りは0
　　　28n（343m³＋441m²＋189m＋27）は7の倍数で、7で割ったときの余りは0
　　　4（343m³＋441m²＋189m）は7の倍数で、7で割ったときの余りは0
　　残りの4⋇27＝108だけが7の倍数でないため、余りが問題になります。
　　（厳密には27も7の倍数の21とその余り6に分けることができ、4⋇6だけでもよい。）

No.1 回答者： RTO 回答日時： 2013/01/31 12:49

ヒントだけ

1)　7の4乗の一の位は１です
　3の４乗の　以下同文
2)ただ割っていくだけ