【数Ⅱ】剰余の定理と因数定理 4STEP数Ⅱ＋B P31 135 の問題を教えてください！！

135, 整式P(x)を(x-1)^2で割ると余りが4x-5, x+2で割ると余りが-4である。
　　　このとき、P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

【模範解答(一部)】
P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った時の商をQ(x)とする。
この時の余りは、2次以下の整式または0であるから、ax^2+bx+cと置ける。
よって、P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c　
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
このような形で解答が続いていき、答えは「x^2+2x-4」となるのですが、、
その前提である、「よって、P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c」の余りがなぜこのような形になるのか理解することができません。

この問題の基礎的な類題で、余りは「ax+b」となっていたので「こういう物なんだ」と思っていましたが、問題の形式によって余りの形は変わるのですか？？
どうやったら、余りの形（一次式なのか二次式なのか。。。）を導くことができますか??

きっと、初歩的なことなのだと思いますが教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/05/05 20:55

2次式で割った余りは1次以下です。

もし2次以上だったら、さらに2次式で割れるから。
同様にn次式で割った余りは(n-1)次以下です。

例えば
100を9で割ったら、余りは(9-1)＝8以下です。
もし余りが9以上だったら、その余りはさらに9で割れるから・・。

これを同じです。

P(x)を(x-1)²(x+2)で割る場合、(x-1)²(x+2)は3次式だから、余りは2次式以下です。

2次式の一般形はax²+bx+cになるので、ソー置いています。

余りがたまたま2次式だったら、計算結果でa=0が求まります。
余りがたまたま定数だったら、計算結果でa=0、b=0が求まります。

この回答へのお礼

例えがとても分かりやすかったのでベストアンサーにさせて頂きます！
やってみれば意外と分かる話だったのですね。。
ありがとうございました！！！！！

お礼日時：2019/05/05 21:02

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/05 20:51

結論から言えば、整式P(x)を「(x-1)^2」のような「二次式」で割った余りは、次数が一つ低い「一次式」になるし、

整式P(x)を「x+2」のような「一次式」で割った余りは、次数が一つ低い「定数」になります。

なので、整式P(x)を「(x-1)^2(x+2)」という「三次式」で割った余りは、次数が一つ低い「二次式」になります。なので「余り」を二次式の
　ax^2+bx+c
とおいています。

どうしてそうなるのかは、少しご自分でも考えてみればよいと思いますが、仮に
　P(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ･･･ ＋ kx^2 + mx + n
とおいたときに、これを二次式 px^2 + qx + s で割れば、その商は
　Q(x) = (a/p)x^(n-2) + ･･･ + (k'/p)
となります。もし余りが
　tx^2 + ux + v
だったら、これを px^2 + qx + s で割って
　（tx^2 + ux + v)/(px^2 + qx + s) = t/p　あまり　αx + β
まで割れますので、結局「あまり」は「割る数の次数」よりも一つ低い次数になります。同じ次数までは「割れて商の定数項になる」からです。

多項式の「次数」はそんな関係になっているということです。

この回答へのお礼

なるほど！次数を一つ下げればよかったのですね。
詳しい解説ありがとうございました( ´ ▽ ` )

お礼日時：2019/05/05 21:00