a^kをmで割った余り は r^kをmで割った余り は同じになる？

割り算のあまりの性質に
https://www.kyo-kai.co.jp/img/material/kou/2998/ …
a^kをmで割った余り は r^kをmで割った余り と同じになるそうです。あまりをXとしてやってみたのですがならない気がします。

a^k / m = O・・・X
r^k / m = P・・・X
Xはおなじになるらしいので、試しに実数を入れてみましたがなりませんどこが間違っていますか？

8^1 / 8 = 1・・・0
9^1 / 8 = 1・・・1
10^1 / 8 = 1・・・2

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/01/18 14:41

「aをｍで割ったときの余りがｒであるとする」なら、

が抜けているのかな？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/18 14:46

リンク先はみませんが・・・

rって通常あまりのことですよね
a^kをmで割った余り=r
なんじゃないでしょうか？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/01/18 14:50

あのねぇ、添付の画像を 読んでいますか。

「a^kをmで割った余り は r^kをmで割った余り と同じ」これは、
無条件には 成り立つ訳がありません。
「a を m で割った余りを r とした時」と書いてありますよね。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/01/18 14:51

同じになる訳が無い。

言ってる事は「aᵏをm割った余りとrとすると」と言う前提が付くんだよ。
良く読め、良く理解セーヨ！

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/18 15:15

3-④の話？

36^63 = 111444219848545291112918149658401217019177846881717006276548100629318214534968256903948922840416256

36^63 mod 7 = 1

だけど

36^63 mod 7= (36 mod 7)^63 mod 7 ＝1 mod 7 = 1
という話だよね

上の 36 を a, 63 = k, a mod 7 = r とすると

a = 7n + r (n は適当な整数)
a^k = (7n + r )^k
これを分配法則で展開すると項の因子に 7n が絡まないのは r^k だけだから
(7n + r )^k mod 7 = r^k mod 7

No.6 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/01/18 16:40

たぶんそれは ”ａ”と”ｒ” の定義がどこかにあって、

質問者さんがそれを見落としているのだろうと推測します。

……ここまでの回答を見ると、そのようですね。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/18 16:50

aをmで割った余りをrとすると

a^kをmで割った余り は r^kをmで割った余り と同じになる

a/m=N……r
a^k/m=O…X
r^k/m=P…X

8を8で割った余りr=0
8^1を8で割った余り0はr^1=0^1を8で割った余り 0と同じ
8/8=1…0
8^1/8=1…0
0^1/8=0…0

9を8で割った余りr=1
9^1を8で割った余り1はr^1=1^1を8で割った余り 1と同じ
9/8=1…1
9^1/8=1…1
1^1/8=0…1

10を8で割った余りr=2
10^1を8で割った余り2はr^1=2^1を8で割った余り 2と同じ
10/8=1…2
10^1/8=1…2
2^1/8=0…2

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2022/01/19 13:11

aをmで割ったあまりをrとする。

これは
　　a = r + mq
ということです（ここに、qはaをmで割った商）。なので
　　a^k = (r + mq)^k
である。右辺のカッコを展開しますと、(kCjを 「k個の中からj個を取り出す組み合わせの場合の数」として）k+1個の項の和として表せて、
　　(r + mq)^k = (r^k) +
　　　　　　(kC1)mq(r^(k-1)) +
　　　　　　(kC2)((mq)^2)(r^(k-2)) +
　　　　　　(kC3)((mq)^3)(r^(k-3)) +
　　　　　　 … +
　　　　　　(kC(k-1))((mq)^(k-1))r +
　　　　　　(mq)^k
　第2項から第k+1項まで、それぞれどれもmが掛け算されている。すなわちmの倍数であり、だから第2項から第k+1項まではどれもmで割り切れる。そして「mの倍数とは限らないもの」は第１項だけ。なので、
「(a^k)をmで割ったあまりは、(r^k)をmで割ったあまりと同じ」だとわかる。

　この話の一番最初の前提、「aをmで割ったあまりをrとする」を見落としているんでしょ。（ANo.1のおっしゃる通り。）