合同式について

10 進数で表現された自然数を 9 で割ったときの余りを調べる方法として、各桁の数字を全て加えた数の余りを調べればよいことが知られている。例えば、数695973 であるとき、6+9+5+9+7+3=39 であり、39 を 9 で割った余りは 3 であるので、695973 を 9 で割った余りは 3 である。この方法が成り立つのはなぜか。合同式の性質を用いて説明しなさい。
この問題がよく分からないので証明お願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/04 12:44

自然数nを10 進数で表現する、というのは、数列 a[k]∈{0,1,...,9} (k=0,1,...,K)を使って

　　n = a[0] + a[1](10^1) + a[2](10^2) + ... + a[K](10^K)
と表すってことです。（a[k]は「10 進数表現をシモの方から数えて(k+1)桁目の数字」ですね。）
　一方、k≧1について、(10^k) - 1 (=10000....0 - 1 = 9999....9 ["9 "がk個並ぶ]） は必ず9で割り切れますから、
　　n = (a[0] + a[1]+ a[2] + ... + a[K])
　　　+ (a[1]((10^1)-1) + a[2]((10^2)-1) + ... + a[K]((10^K) -1))
　　= (a[0] + a[1]+ a[2] + ... + a[K]) + (9の倍数)
なので n を9で割った余りrは
　　r = ((a[0] + a[1]+ a[2] + ... + a[K])を9で割った余り)
というわけです。

　それはさておき「合同式の性質を用いて説明しなさい」に答えるためには、どんな「合同式の性質」を使えというのか、それはこの出題の背景、すなわち「質問者氏は合同式について一体何を教わったのか」が不明であるため何とも言えないんで、ご自分で考えてみてください。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/04 10:49

例の桁数が多いので、3桁の 345 で考えてみます。

345=9x38+3 。
345=3x100+4x10+5=3x(99+1)+4x(9+1)+5
=3x99+9x4+3+4+5=9x(3x11+4)+3+4+5 。
当然 9x(3x11+4) は 9の倍数ですから
3+4+5=12 を 9で割った余りと 等しくなります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/04 06:09

695973

=6*100000+9*10000+5*1000+9*100+7*10+3
=6(99999+1)+9(9999+1)+5(999+1)+9(99+1)+7(9+1)+3
=6*99999+6+9*9999+9+5*999+5+9*99+9+7*9+7+3
=6*99999+9*9999+5*999+9*99+7*9+6+9+5+9+7+3
=6*11111*9+9*1111*9+5*111*9+9*11*9+7*9+6+9+5+9+7+3
=9(6*11111+9*1111+5*111+9*11+7)+(6+9+5+9+7+3)
↓k=6*11111+9*1111+5*111+9*11+7とすると
=9k+(6+9+5+9+7+3)
↓(6+9+5+9+7+3)を9で割った商をm余りをrとすると
↓(6+9+5+9+7+3)=9m+rだから
=9k+9m+r
=9(k+m)+r

だから
695973
を9で割った余りはrである