60進法と10進法

Question

違いがいまいち分かりません。
時間は60進法だと言いますが、100分など60以上の数でも表せますよね？
そもそも、60という数自体、10進法の数字ではないのでしょうか。
それに一日が24時間だというのも気になります。
時間が60進法なら60時間で一日にならないのでしょうか。
というか、自分が「進法」という概念をきちんと理解しているのかさえ怪しいです……。

また、3進法や100進法なども存在するのでしょうか。
存在するなら、どのような場合に使われるのでしょう。
時間以外に60進法を使う場面があればそれも知りたいです。

数学から離れて久しいド文系ですので、易しい解答を宜しくお願い致します。

bgm38489 · Accepted Answer

n進法というのは、ｎ番目で位が変わるというものです。だから、10進法だと10番目の数、すなわち9の次でくらいが変わります。
本来、60進法というものは、１～５９までを違う一桁の数とし、60番目の数で初めて位が上がるとしていました。６０秒で1分、60分で1時間とするのと一緒です。1日を60時間とすると、1時間、1分、1秒がが今の五分の二となってしまいますね。だから、24にしたのだと思います。
時間のほかに60進法を使っているのは、図形の角度の世界があります。

60進法にこだわったのは、そもそも、12という数は約数が多いので（２，３，４，６）使いたかった。図形の世界でも、角度の問題で、12進法が最も適している。ところが、人間の指は10本だ。そこで、12と10の最小公倍数、６０を取ったのです。

もし人間の指が１２本ならば、数学の図形の分野、物理の時間の分野が、もっと発達したと思いますよ。

時間は60進法ですが、実際に使っている数字は、10進法です。そもそも、60進法と呼ぶこと自体、10進法に則ってるのですから。

２進法では、使う数字は1と0だけ。2進法の世界では、2は10なのです。実際、１，１０，１１，１００…と続きますが、いち、じゅう、じゅういち、ひゃくと読みます。極論すれば、2進法の世界では、2進法は10進法なのです。

3進法とかも、できますよ。使う数字を０，１，２とし、1，2，10，11，12，20，21，22，100…とすればよいだけですから。ただ、使う機会がないだけです。

８進法は、古いコンピュータでは使われていましたね。今のコンピュータは16進法。これは、9の上に７つ数字を作り（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆと表します。）16番目の数で、初めて位が上がるとするものです。コンピュータ本体には2進法で命令しますが（ＯＮかＯＦＦか）、16進法は2進法に直しやすいからです。16進法の10は、2進法の10000。これは、16＝２＾４に由来します。

cozycube1 · Answer

昔も今も、10進法がよく使われます。指折り数えるのに便利だからかもしれません。

コンピュータ関係では、電圧の有無で表せる2進法（0と1だけ）が基本で、そのため2のn乗が相性がよく、2の4乗である16進法がよく使われます。16進数は通常、0, 1 ,2, …, 9, A(＝10), B(11＝), C(＝12), D(＝13), E(＝14), F(＝15)の16種類の英数字で表します。

時間関係で多用されるのが、ご質問の通り、60進数や12進数です。なぜ10進数にしないかは、私ではよくわかりません。

16進数のように、60種類の文字で60進数を表したり、12種類の文字で12進数を表しても、何も問題はありません。

ただ、アラビア数字が普及したせいか、10進数で60進数や12進数を表すやり方が、結局は普及しました。60種類もの文字を数字として覚えるのも大変なせいでしょう。ある意味、疑似的な60進数、12進数と言えなくもありません。

しかし10進数と紛らわしいので、時分秒を、04：41：52のように区切って表記することが多いです。

nを2以上の自然数としますと、数学ではn進数として、nがどうであれ問題ないようにできています。3進法でも、100進法でも、1億進法でも、1京進法でも、なんでもありです。

特に理由がない限り、10進法以外を選択する積極的な理由は生じませんから、たいていは使い慣れた10進法を使います。数学的には、n進法はnがどうであれ、平等ですので、慣れ親しんでいるものを使えばいいわけです。コンピュータを利用するなら16進法ということも、よくあります。

もし10進法や16進法以外を選択するとすれば、たとえば6種類からできているものを、数学的に分析するなら、6進法が都合がいいことがあるなどでしょうか。

余計な数を使わないほうが、計算が容易いことがあるんですね。逆に10種類で不足なら、必要な種類の文字を導入してでも、10や16より多いn進法を使います。そういう特殊な場合には、10進法や16進法にこだわりません。問題を解くのに必要十分な、つまり最もシンプルなものを使います。

60進法は、既に時間が12進法と60進法で定義されたから使っています。私は他に具体的な例を知らないのですが、60種類で都合が良いものが出てくれば、躊躇せずに60進法を使うことになるでしょう。

mide · Answer

時間が60進法といっても，実際の生活では10進法や2進法のように60個の別々な記号を使い必ず繰り上がり何桁でも表示するという完全な60進法を使っているわけではないので分かりにくいのでしょうね。むしろ「分」や「秒」に60進法の考え方が使われているという程度の方がいいかもしれません。

>時間以外に60進法を使う場面があればそれも知りたいです。

角度も，「度」の下は分，秒です。「20度13分40秒」のようにいいます。

また古代バビロニアだったかで，1以下の小数を表すのに60進法を使っていたそうです。つまり

分数表記では 13/25
10進小数表記では 0.52
60進小数表記では 0:31:12

これらが同じ数値を表します。60進小数表記の「：」は便宜的に書いたので違っているかもしれませんが，そういう方式ということです。これが，現在の時間や度の60進法につながっているのでしょうね。

178-tall · Answer

>60進法と10進法　違いがいまいち分かりません。
>時間は60進法だと言いますが、100分など60以上の数でも表せますよね？
>そもそも、60という数自体、10進法の数字ではないのでしょうか。

「時間」は 60 進ですが、日常の「表示法」は 10 進のまま、ですね。
表示も 60 進とするには、1 から 59 までをそれぞれ一文字で表す数字をそろえておき、60 に達したらひと桁上がる、という表示法にせねばなりません。

60 進用数字というのは無さそうなので、コンピュータでの 16 進法の例でも。
16 進表示だと、「1 から 15 までをそれぞれ一文字で表す数字」として、
　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
を現用してます。
10 進一桁用の 1～9 はそのまま、 10～15 はアルファベットの A～F 、という苦肉の策。

>それに一日が24時間だというのも気になります。時間が60進法なら60時間で一日にならないのでしょうか。

歴史的遺物として継承、ということでしょうか。
西欧には、度量衡などに 12 進系が多いようですけど、理系の当方は、その由来は全く知りませんし、知る気もありません。

kmee · Answer

「時間」だと、100分等もありなので、「時刻」を考えます。
「今日の3時100分集合」とか、いいませんよね?

2時59分59秒+1秒
→59秒+1秒=60秒で1繰り上がって0秒
→59分+繰り上がりの1分=60分で1繰り上がって0分
→2時+繰り上がりの1時で3時
と、60で1繰り上がる「60進法」になっています。

23時までしかないのは、最上位を59まで使わない、というもので、10進数で言えば「300未満の数」等といったものに相当します。

> 60という数自体、10進法の数字

そうなのですが、これは、普段10進法を使っているので、それで表現しているだけです。
もし、日常的に60進法が使われている世界なら、10～59を表わす「数字」があって
4■□ ( 4時■分□秒) と表記していたでしょう。
われわれの60進法は、その世界の10進法です。十と呼ぶと誤解を受けますが、60の位が1、1の位が0の数です。
われわれの10進法は、その世界の△進法です。△はその世界で「10進数での10にあたる数値を表わす『数字』」とします。

3進数、100進法の例はちょっと思いつきませんが

1000進法: 3桁区切りの, / 英語での数え方
10,000 は 10千 です

10000進法: 日本での数の数え方
12345678 は (1234)万(5678) です

ereserve67 · Answer

1日を24分割したのが1時間．これは生活の作業時間の目安ではないですか．時給という言葉もあります．

1時間を60分割したのが1分．
1分を60分割したのが1秒．

現在時間単位は1秒になっています．

一般にp進法（p=2,3,4,・・・）というのは，n桁の整数Nを

N=a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+・・・+a_2p+a_1(a_k=0,1,・・・,p-1)(k=1,2,・・・,n)

と展開するとき，記法

N=a_na_{n-1}p^{n-2}・・・a_2pa_1

のことを言います．例えば2進法で1011という数Nは10進法では

N=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1=8+2+1=11(=1×10^1+1)

となります．

2進法はコンピューターの言語とも言えます．もっとも単純です．位の数字が0，1の2値だから，電圧が高いと低い，電流が流れているか流れていない，というように情報を単純に判断できます．

60進法が時間以外に使われている例は角度です．時計は円だから時間からきているのかもしれません．

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E9%96%93_(%E5%8D%98%E4%BD%8D)

ken-nosuke · Answer

ｎ進法というとき、全て１０進法の文字すなわち０～９を使用することがわかり辛くしている理由だと思います。

１．ｎ進法は、ｎ個集まると１つ桁が上がる数え方と考えてください。
１０進法では、一の位が１０個で十、十の位が１０個で百です。

２．６０進法は、６０個で一塊。１秒が６０個で１分、１分が６０個で１時間。分、時が、１０進法の十、百に当たります。ただし、通常使う文字は、０～９までの１０個しかないので、６０までの数を１０進表記で表しています。
もし、６０個の異なる文字を使えばわかりやすかったと思います。
ただし、６０進法は、秒、分、時の間だけで、１日は、２４時間で６０進法になっていないため余計わかりにくくしていると思います。

３．３進法は知りませんが、コンピュータの世界では、２進法が使われています。
２進法は、０，１の２文字しか使いません。電気のOFF＝０、ON=1を利用しているからです。
ここでも、通常１０進法の０、１を使用するため、わかりにくく感じる人がいると思います。
たとえば、無＝０、有＝１とします。２進法ですから、有　が２つ集まると桁上がりして
　有無　となります。

１０進法（０～９）　　２進法（０，１表示）　２進法（無、有表示）
　　　　　　　　　０　　　　　　　　　０　　　　　　　　　　　無
　　　　　　　　　１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　有
　　　　　　　　　２　　　　　　　　１０　　　　　　　　　　有無
　　　　　　　　　３　　　　　　　　１１　　　　　　　　　　有有
　　　　　　　　　４　　　　　　　１００　　　　　　　　　有無無

かえってわかりにくいですか？私は、１００　より　有無無　が理解しやすいと思いますが。

４．コンピュータの言葉は、１６進法も使われています。使う文字は、０～９とA～Fの１６文字です。
ただし、コンピュータでは、小さい数も４ケタ表示します。

１０進法　　　　　１６進法
　　　　　　　０　　　　　　　００００
　　　　　　　１　　　　　　　０００１
　　　　　　　２　　　　　　　０００２
　　　　　　　９　　　　　　　０００９
　　　　　　１０　　　　　　　０００Ａ
　　　　　　１５　　　　　　　０００F
　　　　　　１６　　　　　　　００１０

５．１００進法は知りません。私の独断ですが、１０００進法や、１００００進法は使われているといえます。
１０００進法：１０００ｇ＝１ｋｇ、１０００ｋｇ＝１ｔ
１００００進法：１００００円＝１万円、１００００万円＝１億円、１００００億円＝１兆円
ただし、ｋｇ、ｔ、円、万円、億円、兆円の間は、１０進法が、併用されていることになります。

最初に言ったようにｎ進法は、ｎ個を一塊にして、１つ上の桁が１個という数え方です。

asuncion · Answer

＞時間以外に60進法を使う場面があればそれも知りたいです。

緯度や経度といった角度でも60進法を使いますね。
度は10進法ですが、分・秒は60進法です。
東経135度59分59秒なんていうのを見聞きされたことがあるのではないでしょうか。

asuncion · Answer

100進法はともかく、「3進法がない」というのはちょっとどうかな、と思います。
実生活で使うかどうかはさておき。
0～9とA～Zを使う「36進法」なんていうのも考えることができますしね。

fjnobu · Answer

まず、10進法というのは9の次が１つ桁が上がると云うことです。
時間の６０進穂は、59の次が一つ桁が上がります。もちろん9の次は1つ桁が上がるので、10進法も共用されています。
24時間は、23時間の次が1つ上がるので、24進法と云えます。
秒は60進法、分も60進法、時間は12進法又は24進法どちらかです。
日は30進法又は31進法、月は12進法となります。
ダースは、12進法になります。角度は60進法です。
3進法や100進は使われません。2進法は計算機の中で使われます。

60進法と10進法

n進法というのは、ｎ番目で位が変わるというものです。

昔も今も、10進法がよく使われます。

時間が60進法といっても，実際の生活では10進法や2進法のように60個の別々な記号を使い必ず繰り上がり何桁でも表示するという完全な60進法を使っているわけではないので分かりにくいのでしょうね。