合同式

x, yを整数とするx^2+y^2を5で割った余りが2のとき、xを5で割った余りとしてあり得る値を答えよ。
類題として、平方数を5で割った余りとしてあり得ない値を求めよ。という問題がありました。
そこでは平方数をn^2とおいて数値を代入していきmod5で余りの法則性を求めました。
そこで今回の問題もx^2+y^2をk~k+4とおき5までの数値を代入していき。余りが2となるものを
表を作り求めました。そこから手詰まりです。どうしてよいのかわかりません。
ここまでの考え方が正しいのかさえ分かりません。どなたか、回答のほどよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/03 14:09

mod 5 での平方の表

　　n　　n^2
　　0　　0
　　1　　1
　　2　　4
　　3　　4
　　4　　1
表を見れば mod 5 での平方数は 0, 1, 4 だけで、
それを足して 2 になるのは 1 + 1 ≡ 2 の場合だけ。
よって、
x^2 + y^2 ≡ 2 (mod 5) となり得るのは
x^2 ≡ y^2 ≡ 1 のときのみで、
そうなるのは x ≡ 1, 4 のとき。

平方数を5で割った余りとしてあり得ないのは、
同じ表から 2, 3.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2022/09/03 15:08