合成関数のテイラー展開について

いつもお世話になっております．
現在数学の勉強をしているのですがテイラー展開の場面で疑問が出てきましたので質問させていただきます．

「f(x)がx=aまわりでf(x)=ΣAn*(x-a)^nでテイラー展開されているとき(Anは係数)，合成関数f(g(x))のテイラー展開はf(g(x))=ΣAn*(g(x)-a)^nで表される」というような内容の記述がありました．要はテイラー展開されているf(x)のxにg(x)を代入するとそれは合成関数f(g(x))のテイラー展開になる，ということです．
色々調べてみましたがどうやら「テイラー展開の一意性」というものが関わっていそうなことはわかりましたがなぜそうなるのかわかりません．

テイラー展開の係数は関数の微分が関わっており，たとえばf(x)=e^xとg(x)=-2xを代入したf(g(x))=e^(-2x)では明らかに微分の結果は異なります．それなのになぜ係数は同じになるのでしょうか．

また，第一項であるf(a)も，先程の例で言うとf(a)=e^a, f(g(a))=e^(-2a)で，これも異なります．
厳密な証明でなくても構いませんのでどなたかなぜそうなるのか教えていただけないでしょうか．
よろしくお願いいたします．

No.3 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/16 15:25

係数というか、色々なところが変わってきます。

例えば、g(x)=2xとすると、
f(g(x))=ΣAn(2x-a)^k
=Σ2^kAn(x-a/2)^k
となり、係数が2^kになります。
g(x)=x^2とすると、
f(g(x))=ΣAn(x^2-a)^k
となり、そもそも次数からして違ってきます。
あたりまえですが、
全てそのままであるのは、
g(x)=xのときだけです。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません．
なるほど，言われて見れば確かにそうでした．
ご丁寧にありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2017/07/22 11:14

No.2 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/16 11:32

e＾xを例に挙げます。

テイラー展開で
f(t)=ΣAn(t-a)＾kのとき、
tは任意なので、t=g(x)であれば、
それを代入するだけで
f(g(x))=ΣAn(g(x)-a)＾k
となるというだけのことですよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます．
>>f(t)=ΣAn(t-a)＾kのとき、
>>tは任意なので、t=g(x)であれば、
>>それを代入するだけで
>>f(g(x))=ΣAn(g(x)-a)＾k
>>となるというだけのことですよ。

確かに言われてみればf(x)とf(g(x))と書くからややこしくなるのであってf(t)は全く別物ですね．
f(g(x))=ΣAn(g(x)-a)＾nを展開して整理し，f(g(x))=ΣBn(x-a)＾nの形に整理すればBnはf(g(x))のテイラー展開の係数になるのでしょうか．

お礼日時：2017/07/16 12:17

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2017/07/16 11:31

--いつもお世話になっております--

→特段、お世話してるとは思っていないけれど・・!
当方、(元!)工学屋で数学専攻者ではないため"詳しい人マーク"には該当せず(^^);
(詳しい訳ではない事をお断りした上で・・、)

思うに・・、
「f(x)がx=aの周りでf(x)=ΣAn*(x-a)^nでテイラー展開されているとき(Anは係数)，合成関数f(g(x))のテイラー展開はf(g(x))=ΣAn*(g(x)-a)^nで表される」は、
f(g(x))=ΣAn*(g(x)-a)^n
・・の部分で、更に
(g(x)-a)^n =Σ[n=m~∞]bm(x-a)^m　(一応和の取り方が変わるのでnではなくmとしておく!)
と書かれるべき処が端折られているのでは・・!?
・・と思ったりする!

つまり(以下は単に形式的な表現の仕方として見ていただきたいのだが!?)
f(g(x))=ΣAn*(g(x)-a)^n
=ΣAn*(Σ[n=m~∞]bm(x-a)^m)^n
=Σ[n=0~∞](Σ[n=m~∞]Anbm)(x-a)^n
=Σ[n=0~∞](Σ[m=0~∞]cm)(x-a)^n　　(∴合成関数も解析的・・!)

質問者の言われる通り、f(x)のx=aの周りのテイラー展開の係数Anと合成関数f(g(x))のx=aの周りのテイラー展開の係数とは同じAnにはならない筈・・!

・・と思う!

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます．
>>f(g(x))=ΣAn*(g(x)-a)^n
>>・・の部分で、更に
>>(g(x)-a)^n =Σ[n=m~∞]bm(x-a)^m
>>と書かれるべき処が端折られているのでは・・!?

なるほど，確かに係数比較するためには(g(x)-a)^nから(x-a)^nに変形してやらなくてはいけませんね．
変形して(x-a)^nでまとめると係数は同じになってく(回答者様の定義をお借りするとΣ[m=0~∞]cm=An)のでしょうか・・？

お礼日時：2017/07/16 11:59