多変数関数の微分とテイラー展開について

メーカー勤務の社会人です。
以下について調査中ですが、どこか取り付く島が無く、
一体何に混乱しているかも明確にならず、何か手掛かりに
なればと、こちらへの投稿を思い付きました。

有識者の多いこちらでは稚拙な内容かも知れませんが、
どうか宜しくお願いいたします。

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＜ご質問内容＞

(1)多変数関数　例えば ｆ(x,y,z,t)　の全微分とは、
　df(x,y,z,t)＝∂x･dx＋∂y･dy＋∂z･dz＋∂t･dt＋(誤差)
　という理解で良いのでしょうか？

　そもそも全微分の用途とは｢df｣を式として表現する為
　という理解で良いのでしょうか？

(2)多変数関数のテイラー展開とは、1変数のテイラー展開
　と同様に、(1)のｆ(x,y,z,t)などを多項式で近似的に展開
　する主旨のものという理解で良いのでしょうか？

　なお、２変数関数のテイラー展開の式
　∑1/n!･(h∂/∂x＋k∂/∂y)^n･f(a,b) 内の「^n」とは
　ｎ乗の意味で良いのでしょうか？
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〆

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/24 18:52

>df(x,y,z,t)＝∂x･dx＋∂y･dy＋∂z･dz＋∂t･dt＋(誤差)

これはめちゃくちゃだな。

df=∂f/∂x・dx+・・・
で「誤差」は不要。全微分は極限なので。

>2変数関数のテイラー展開の式
>　∑1/n!･(h∂/∂x＋k∂/∂y)^n･f(a,b) 内の「^n」とは
>　ｎ乗の意味で良いのでしょうか？

h=x-a
とかキチンと書くべき。
^nはn乗の意味だが
演算子に対して形式的に使ってることに注意。
掛け算じゃなくて高次の偏微分の演算子
を簡単に記述するのに使ってる。

この回答へのお礼

ご教示、ご指摘ありがとうございます。

＞^nはn乗の意味だが

やはりそうだったのですか･･･
分かり辛いです･･･

お礼日時：2022/04/25 00:18

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/24 18:06

なお質問の本題からは外れますが、質問文の中の「ご質問内容」と言うのは明らかに変でしょう。

「アンタ何様のつもり?」と言う話になるわけですから。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。
気をつけます･･･

お礼日時：2022/04/25 00:16

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/24 18:00

ちなみに私は大学1年の物理数学と言う科目で全微分を初めて知ったのですが、当初はこれが何を表しているのかさっぱり分かりませんでした(式の意味自体はもちろん理解していました)。

ところがある時、dfを以下のように考えれば全微分の意味(全微分なるものをdfで表す理由)に納得が行くようになりました。

まずdf

=f(x+dx,y+dy)-f(x.y)

に

-f(x,y+dy)+f (x,y)

を加えて以下のように変形します。

df=

f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)

+f(x,y+dy)-f(x,y)…①


ところで

∂f/∂x=

{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}/dx

∂f/∂y=

{f(x,y+dy)-f(x,y)}/dy

と考えて差し支えないので

f(x+dx,y+dy)-f (x,y+dy)

=(∂f/∂x)dx…②

f(x,y+dy)-f(x,y)

=(∂f/∂y)dy…③

②と③を①に代入すれば最初の回答に書いた全微分の式になります。

PS:ひょっとしたら数学的に厳密な式の変形にはなっていないかもしれませんが、考え方は間違っていないはずです。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。

内容を見てハッとして調べ直したところ、
df＝f(x+dx,y+dy)－f(x.y)　に
－f(x,y+dy)＋f(x,y+dy)　を加えるアイディアで
全微分を説明されている記事を見付けました。

全微分の元々の目的が明確になった気がして
腑に落ちました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/04/25 00:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/24 17:29

(1)

右辺に f が含まれていないことをオカシイと感じませんか？
普通の記号法では、
df(x,y,z,t) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz + (∂f/∂t)dt
です。
あと、「誤差」という考え方は大いに問題ですね。
1変数の場合も、
平均値定理は f(x) - f(a) = (x - a) ｆ’(c) + (剰余項) ではありますが、
微分は dy = (dy/dx)dx であって dy = (dy/dx)dx + (誤差) ではありません。
微分係数の定義に極限操作が含まれているので、
出来上がった式に有限の「誤差」は残っていないのです。
誤差があったら、極限は収束していないことになってしまいます。

(2)
それでは、当たらずとも遠いというか...
多変数関数にせよ、1変数にせよ、テイラー展開は冪級数展開です。
冪級数は、無限個の項を持ち、多項式ではありません。
テイラー展開を応用して関数を多項式で近似することはできますが、
それはあくまで応用のひとつ。
テイラー展開自体は、もとの関数と真に等しいので、「近似」ではありません。
「誤差」とか言っているから、そんな誤解になってしまうんですよ。
数学を、物理か何かと混同していませんか？

この回答へのお礼

色々とご教示､ご指摘いただきありがとうございます。
式は完全に誤記ですが、焦りの表れでもあります･･･。

＞「誤差」という考え方は大いに問題ですね。

これも焦りの表れで、調べる内に混乱してしまった様です。

＞テイラー展開自体は、もとの関数と真に等しいので、「近似」ではありません。

そもそもテイラー展開を書いた主旨は、全微分との
関連性や棲み分けをしたかったことによります。
どちらも何処か目的が類似している気がして･･･

お礼日時：2022/04/24 23:54

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/24 17:29

全微分の式が間違っています。

全微分とは1変数関数の場合の微分(「関数を微分する」と言う場合の微分とは意味が異なります)

dy=(dy/dx)dx

を多変数関数の場合に拡張したもので、2変数関数の場合には以下のようになります。

df(x,y)=

(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

(3変数以上の関数の場合は同じ要領で変数の数を増やすだけなので省略)

なおテイラー展開の方に関しては概ねそれで合ってるようですが、級数展開した場合(加える項の数が無限個の時)には近似ではなく厳密に同じと考えて差し支えないと思います。

この回答へのお礼

ご教示､ご指摘いただき、
ありがとうございます。

（式は完全に誤記ですが、焦りの表れです･･･）

今後の理解の為の手掛かりにいたします。

お礼日時：2022/04/24 23:33