数学　有理式　無理式　

Question

有理式において、分数式（繁分数，連分数を含む）でないものを整式といって、
さらに整式は単項式と多項式に分類されます。

無理式でも同じく分数式（繁分数，連分数を含む）と整式と言う言葉を
使って良いのでしょうか？
（無理数を近似する場合に連分数を使う事があるので無理式で連分数は
あまり使わないと思いますがあるのでしょうか？）

例えば、（x^2+1）/√（x+1）は分数式と言って良いのでしょうか？
√（2x），√（3x）+x^2は整式と言って良いのでしょうか？

√2xは単項式、√（3x）+x^2は多項式と言って良い気がしますが、
無理式でも分数式、整式と言う言葉を使って良いのか疑問に思い
質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

ramayana · Accepted Answer

関数 y = x^a については、次のとおりです。

（１）　a が有理数のときは、代数関数（注１）。とくに、a が整数のときは、有理関数（注２）。

（２）　a が無理数のときは、超越関数（注３）。

（注１）　a = m/n （m と n は、互いに素な整数）とすれば、x^m-y^n = 0。 x^m-y^n が多項式なので、 y は、x の代数関数である。

（注２）　逆に、a が整数でなければ、有理関数でない。　なぜなら、a = m/n （m と n は、互いに素な整数で、 n>1 ）とすれば、 y^n = x^m。１つの x に対して、この等式を満たす y は、複数ある（ANo.9を参照）。つまり、 y は、 x の多価関数。有理関数が多価関数になることはない（有理関数なら、１つの x に対して、ただ１つの y が定まるはず）。

（注３）　a が無理数のときは、y = 1 となる x が無数にあるから、y = x^a は、超越関数である。無数の x とは、x = e^(2πki/a) = cos(2πk/a) + isin(2πk/a) のこと（kは整数）。k がどんな整数でも x^a = 1 になる。しかも、a が無理数だから、k  が k = 0, 1, 2, 3, ・・・ と動くとき、 e^(0) , e^(2πi/a) , e^(4πi/a) , e^(6πi/a) , ・・・ は、どれも異なる値である。

ramayana · Answer

「ベキ関数も超越関数でしょうか？」

ベキ関数というのは、aを0以外の定数として y = a^x = e^(log(a)x) と表される関数のことですね？これは、超越関数です。

「x^n=a（xは変数，nは自然数，aは定数）を満たすxは複数あるでしょうか？」

aが0でなければ、複数（具体的にはn個）あります。解の１つをαとすれば、

x = α×(cos(2πk/n)+isin(2πk/n)　k = 0, 1,・・・, k-1

で表わされるxが、すべて x^n = a になります。

ramayana · Answer

「三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数は超越関数ではないのでしょうか？」

超越関数です。

ANo.7で『超越関数とは、三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数と考えていました。これは、間違いでしょうか？』の問いに間違いだと答えたので、この質問になったのでしょうか。『』内の文章だと、三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数以外に超越関数がないという意味になってしまうので、間違いなのです。数学というよりも、国語の問題ですね。

「α関数，γ関数，β関数は超越関数ということですね。」

ガンマ関数とベータ関数は、超越関数です。アルファ関数は、超越関数かもしれませんが、私にはよく分かりません。

ramayana · Answer

「超越関数とは、三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数と考えていました。これは、間違いでしょうか？」

間違いです。まあ、普通に見かけるややこしい関数は、超越関数のことが多いようです。

「高等関数についてなのですが明確な定義はあるのでしょうか？」「α関数やβ関数，γ関数は高等超越関数と呼ばれたりするのでしょうか？」「初等関数と高等関数の違いって何なんでしょう？」

初等関数と高等関数については、よく知りません。

ramayana · Answer

「有理関数の定義なのですが、有理式で表される関数と理解して良いでしょうか？」

はい。

「有理関数ですが、少なくとも1つ以上の変数を含んでいる必要はありますよね？」

微妙ですね。

式の中に必ずしも変数が現れなくてよい、という意味で、「必要はありますよね？」の答は、「いいえ」です。

ただ、関数というからには、何を変数にするかということが必ず想定されていなくてはなりません。想定されている変数がたまたま現れなくて、定数関数になってもOKということです。

「定数関数も有理関数でしょうか？」

はい。

「有理関数の定義を教えて頂けないでしょうか？」

定数と変数から加減乗除算で構成できる関数です。同じことですが、有理式で表される関数です（最初の質問とダブり）。

「複素数（虚数）を含んでも良いのですか？」

はい。

「例えば、純虚数iは有理式と言っても良いのですか？」

はい（定数も有理式のうちだから）。

「常用対数は超越関数なのでしょうか？」

はい。

「x^xは超越関数ですか？」

はい（証明はやや面倒）。

「関数は、初等関数と高等関数に大別できると理解しています。初等関数は、代数関数（有理関数，無理関数（√を含む関数））超越関数に大別できると思います。高等関数とは、β関数やγ関数などです。」

この分類は、変ですね。これだと、β関数やγ関数が超越関数でないように読めてしまいます。

ramayana · Answer

「有理関数とは、分数式で表されていなくても良いのでしょうか？」

分数式で表されていなくても、結果的に分数式（多項式を含む）で表すことができれば、有理関数です。例えば、y=(1+x)^(1/2)×(1+x)^(-3/2)は、見かけ上分数式でないですが、変形すればy=1/(1+x)になるので、有理関数です。

「また、sin（x）は有理式ではないのですか？」

xの有理式（分数式も同じ）とは、xと複素数(注）を使って、加減乗除によって得られる式を言います。sin(x)は、この方法により作ることができないので、xの有理式でありません。

(注）「複素数」の部分は、実数、.有理数など、別のものに置き換えることもできます。ですから、「複素数を係数とするxの有理式」のように、係数と変数を明示するのが厳密な言い方です。この回答では、便宜上、複素数を係数とするものだけに限ることにします。

「有理関数と代数関数の違いがよくわかりません。」

代数関数であって有理関数でないものとして、x^(1/2)や(2+x)^(2/3)など、累乗根を使わないと表現できない関数があります。ただし、これだけに限りません。

A 　xの有理関数全体（xと複素数を使って加減乗除によって得られる関数全体）

B　 xと複素数を使って加減乗除と累乗根によって得られる関数全体（「無理関数」がこれにあたるか？）

C　xの代数関数全体

と置くと、A⊂B⊂Cです。f(x,y)をxとyの多項式として、f(x,y)=0を満たすとき、yはxの代数関数です（Cに属する）。とくに、f(x,y)がyの１次式なら、yはxの有理関数です（Aに属する）。また、f(x,y)がyの２次式、3次式、4次式のいずれかなら、yはxの関数としてBに属します（2次方程式、3次方程式、4次方程式の解の公式が係数の加減乗除と累乗根で表わされるのを聞いたことがありますね）。f(x,y)がyの5次式以上なら、yはxの関数としてBに属さないこともあります（5次以上の方程式には解を係数の加減乗除と累乗根で表わす公式が存在しないことを聞いたことがありますね）。

「インターネット調べたところ、(1+X)^(1/2)は無理関数と言われていると思うのですが、どうなのでしょうか？」

パスします。インターネットで無理関数が扱われている例を見ましたが、定義を見つけることができませんでした。何を指して無理関数というのか、私にはきちんと理解できていません。

「代数関数でない関数は全て超越関数と呼ばれるのでしょうか？」

はい、そうです。ただし、ここで関数というのは、複素数を変数として複素数値をとる関数に限ることにします。複素数全体が定義域である必要はありません。複素数の中のある領域だけで定義される関数も含みます。（さらに、普通は、解析関数（複素数で微分可能な関数）に限ることが多いです。）

「logxやe^xなどは超越関数ですか？」

logxとe^xは、超越関数です。「など」の部分は知りません。超越関数であることを見分ける便利な方法があります。

（１）　関数f(x)で、ある複素数aに対して、f(x)=aを満たすxが無数にあるなら、f(x)は超越関数である（証明は簡単でない）。

（２）超越関数の逆関数は超越関数である（証明は簡単）。

e^x=1を満たすxは、0、2πi、4πi、・・・と無数にあるので、e^xは超越関数です。log(x)は、e^xの逆関数なので、超越関数です。

******************
あとは余談です。代数関数は、19世紀の一時期、数学の花形でした。リーマン、アーベル、ヤコビ、ワイエルストラスといった錚々たる人たちが、この分野で業績を残しました。その成果は、今日の代数幾何学や整数論などに引き継がれています。

alice_44 · Answer

←A No.2 補足
「有理式」の定義は、既に No.2 に書きました。
それに照らして、sin x は有理式ではありません。
sin は「有理形関数」のひとつですが、
有理形関数と有理関数は別の概念です。

貴方の「無理式」については、世間的に
概ねそんな感じで使われていると思います。
ただ、貴方の記述で既にあまり簡潔でない上に、
もう少し補筆しないと、細部が明確でありません。
例えば、√x+2√x-3√x+4x は、無理式ですか？

e や π については、これは定数式ですから、
有理式であり、整式であり、単項式でもあります。
定数の値が有理数かどうかは、
式が有理式かどうかとは関係がありません。

ramayana · Answer

質問文のような分類は、ユニークで、世間一般で通用しないと思います。

次のように、揚げ足をとることもできます。

（１）　普通、整式と多項式は、同じ意味で使う。単項式も多項式の一種。

（２）　「無理式」という言葉は、あまり見かけないうえ、定義も書いてない。

（３）　連分数は定数であるし、無限連分数を想定することも多い。したがって、これを分数式に含めるのは、違和感がある。

余談ながら、関数に対しての次のような分類なら、一般に使われます。

「有理関数」　分数式（多項式を含む）で表される関数。　X^2+1、X/(1+X)など。

「代数関数」　YがXの代数関数とは、Yが多項式F(X,Y)の方程式F(X,Y)=0の解として表されること。有理関数を含む。X^2+1、X/(1+X)、(1+X)^(1/2)など

「超越関数」　代数関数でない関数。sin(X)など。

alice_44 · Answer

「整式」は、定数と変数と加減乗算で構成できる式。
「有理式」は、定数と変数と加減乗除算で構成できる式。
この二つには、数学では普通に通用する普及した定義がある。
これに照せば、√(2x) は、明らかに「整式」ではない。
一方、「分数式」や「無理式」は、日常的には使われるが、
数学として一貫した定義があるとは思えない言葉だ。
これらに、ちゃんとした定義があると思うのなら、その定義を
書き出して、更に、世間でソノ意味に使われているかどうか
確認してみるといい。
貴方の「定義」が機能するかどうかの試金石として、
sin x が「無理式」か否か判定してみるのも一興かと。

spring135 · Answer

＞有理式において、分数式（繁分数，連分数を含む）でないものを整式といってさらに整式は単項式と多項式に分類されます。

ＯＫです。

√（2x），√（3x）+x^2は上記に反するので整式ではありません。

√2xは単項式、√（3x）+x^2は整式定義に入りませんので当然単項式、多項式ではありません。

（x^2+1）/√（x+1）は微妙ですが無理式は有理式に優先する、つまり√は目立つという意味で、無理式というのが一般的でしょう。
「無理分数式」なんてのも定義をすればよいのでしょうがあまり興味を持つ人はいません。要するに分類のための分類であって、必要性、実用性がありません。

数学 有理式 無理式

関数 y = x^a については、次のとおりです。

「ベキ関数も超越関数でしょうか？」

この回答への補足

「三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数は超越関数ではないのでしょうか？」

この回答への補足

「超越関数とは、三角関数，逆三角関数，指数関数，対数関数と考えていました。

この回答への補足

「有理関数の定義なのですが、有理式で表される関数と理解して良いでしょうか？」

この回答への補足

「有理関数とは、分数式で表されていなくても良いのでしょうか？」

この回答への補足

←A No.2 補足

この回答への補足

質問文のような分類は、ユニークで、世間一般で通用しないと思います。

この回答への補足

「整式」は、定数と変数と加減乗算で構成できる式。

この回答への補足

＞有理式において、分数式（繁分数，連分数を含む）でないものを整式といってさらに整式は単項式と多項式に分類されます。

この回答への補足

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