フルビッツの安定判別法

x^3+20x^2+9x+100=0

という式をフルビッツで安定判別したいのですがわかりません。
どなたか教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/01/11 09:01

>この例では、(2) のほうが手軽ですね。

>　arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)]
>{y(9-y^2)}/(100-20y^2) の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。

これは、Hurwitz 行列の
　　H2 = |20　100| > 0
　　　　 | 1　 9 |
の判定と等価です。

なお、
　　H3 = 100*H2 > 0
　　H1 = 20 > 0

No.4 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/01/09 22:18

再登場です☆

四次多項式でも同じなのか？ということについて回答します。

その前に、ちょっと前回の回答に補足を加えて一般化します。
n次多項式D(s)=a[n]s^n + a[n-1]s^(n-1) + … + a[1]s + a[0] = 0
について、
"係数が全て正"という条件が成り立つもとでは、実はフルビッツ行列のk×k主座行列式は全て調べる必要がないことが知られています。まぁイコール０なので、全て負でも同じではありますが、説明の便宜上全て正とします。。ではどれを調べれるのかというと、

n=2kの時、奇数の行列式(H3,H5,…)が全部,正であること。
n=2k+1の時、偶数の行列式(H2,H4,…)が全部,正であること。

を調べればよいのです。（これが、安定性の必要十分条件）
というわけで、フルビッツ安定判別法が簡略化できます。
まぁ知らなくても問題解けるので、前回は補足みたいな感じでチョロっと述べました。

さて、では４次多項式
D(s)=s^4+a[3]s^3+a[2]s^2+a[1]s+a[0]=0が安定となる（つまり、この解の全ての実部が負になる）条件を、上の結果を使って求めてみましょう。
まず、s^4の係数が正なので、とりあえずa[3],a[2],a[1],a[0]は正でなくてはなりません（これは、安定であるための必要条件にしかすぎません）。
ここで、フルビッツ行列を書きますと
H=
(a[3] a[1] 0　　 0)
(1　　a[2] a[0]　　0)
(0　　a[3] a[1]　　0)
(0　　1　　a[2] a[0])
です。H2とかH4なんてみなくても
H3=
|a[3] a[1]　　0|
|1　　a[2] a[0]|
|0　　a[3] a[1]|
=a[1](a[3]a[2]-a[1])-a[0]a[3]^2>0
が成立しれいれば安定であるといえます。（もちろんa[0]～a[3]>0ですよ）

No.3 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/01/07 16:52

ここで、行列どう書いたらいいのかわかんないですが＾＾；

とりあえずフルビッツ行列Hは↓のようにかけますよね。
(20,100, 0 )
(1 , 9 , 0 )
(0 , 20,100)
これの主座小行列式が全て正であることを示せれば、安定です。必要十分条件なので、そうでなければ不安定です。

ということで、
H1=|20|
H2=|20 100|
|1 9|
H3=|20 100 0 |
|1 9 0 |
|0 20 100|
が全て正であることを示せれば安定です。
丸投げ禁止のようなので、あとはご自分で頑張ってください。

ちなみにですが、この問題では３次多項式の係数が全部正なので、実はH1,H3なんかみなくてもH2が正であるかいなかだけで、安定かどうかが判定できます。

この回答へのお礼

すいません
4次多項式でも同じ様な計算になるのでしょうか？

お礼日時：2009/01/09 20:10

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/01/07 09:01

訂正！

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この例では、(2) のほうが手軽ですね。
　arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)]
{y(9-y^2)}/(100-20y^2) の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。

この回答へのお礼

参考意見ありがとうございました。
大変参考になりました。
もう一度がんばってみます。

お礼日時：2009/01/09 19:24

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/01/07 08:59

複素平面で、

　P(z) = z^3 + 20z^2 + 9z + 100
としましょうか。

　(1) P(z) の零点が z-平面の左半分にあれば、Hurwitz-安定。
　(2) 虚軸上での P(z) の偏角(arg) が単調増大の区間だけならば、Hurwitz-安定。

この例では、(2) のほうが手軽ですね。
　arg{P(iy)} = atan[{y(9-y^2)}/(100-20y^2)]
(100-20y^2)/{y(9-y^2)} の零点と極とが交互に現れるならば、Hurwitz-安定です。