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次の多項式(1)をただ一つの行列式 det(A) で表示したいのですが,
可能でしょうか?
A=a+cd+ef+gh ・・・(1)
例えば,(1)のAは,2行2列の行列式を用いれば,
A= |a 0|+|c 0|+|e 0|+|g 0|
|□ 1| |△ d| |◇ f| |▽ h|
と書けるますが,これではいけません.det(A)を4行4列の行列式で
det(A)=|a c e g| ・・・(2)
|☆ ☆ ☆ ☆|
|△ △ △ △|
|□ □ □ □|
と表示したいのです.例えば,Bを
B=a+cd+ef ・・・(3)
とすると,det(B)は,
det(B)= | a c e|
| 0 f -d|
|-1 0 1/f|
と表示出来ます.では,det(A)はどうでしょう?
4行4列の行列式表示が可能でしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
問題の意図がはっきりとは分らないのですが、各行が
(a,c,e,g)
(-d,1,0,0)
(-f,0,1,0)
(-h,0,0,1)
の行列の行列式ではだめでしょうか。
「a,c,d,e,f,g,ha,cd,ef,ghのいずれか」
ではなく0や1もありますが、御希望のものに近いように思います。
お礼:nakaizu さん,ご回答ありがとうございます.0 や 1 などの数値は含んでいてもかまいません.とても参考になりました.しかし,貴殿の行列式
| a,c,e,g|
|-d,1,0,0|
|-f,0,1,0|
|-h,0,0,1|
を a11=a, a22=1, a33=1, a44=1 で余因子(小行列式)展開で計算しますと以下の通りになります.
| a,c,e,g|
|-d,1,0,0|
|-f,0,1,0|
|-h,0,0,1|
=
a|1,0,0| (=a)
|0,1,0|
|0,0,1|
+1・| a,e,g| (=a+ef+gh)
|-f,1,0|
|-h,0,1|
+1・| a,c,g| (=a+cd+gh)
|-d,1,0|
|-h,0,1|
+1・| a,c,e| (=a+cd+ef)
|-d,1,0|
|-f,0,1|
=2(2a+cd+ef+gh).
a+cd+ef+gh ではないので, a11=a, a22=1, a33=1, a44=1 の部分を工夫すれば,良さそうな気がします.a11, a22, a33, a44 の部分に a と -1 や 2 や 1/2 などを使うといいような気がします.良いヒントをいただきましたので,これを基に考えてみます.ありがとうございました.なお,
a11=a, a21=-d, a31=-f, a41=-h で余因子(小行列式)展開で計算しますと
a+cd+ef+gh になります.また,
a11=a, a12=c, a13=e, a14=g で余因子(小行列式)展開で計算しますと
a+cd+ef+gh になります.
もし,お気づきの点などがあって,投稿して頂くと助かります.有り難う御座いました.
No.4
- 回答日時:
対角成分による余因子展開? では行列式は求められませんが、何か勘違いされているのではないでしょうか。
>対角成分による余因子展開? では行列式は求められませんが、
>何か勘違いされているのではないでしょうか。
そうでした.勘違いでした。従いまして,貴殿の回答が正しいです.
お騒がせし,お時間を取らせましたことをお詫びします.
ご指摘,有り難う御座いました.
No.2
- 回答日時:
(2)を見落としてた。
|a c e g |
|0 1/a 0 0 |
|0 0 1 0 |
|0 0 0 a+cd+ef+gh|
この回答への補足
回答ありがとうございました.確かに,その通りで正しいです.しかし,
これでは,いけません.
私の質問の書き方に不備,言葉足らずの点がありました.申し訳ありません.
det(A)=|a11 a12 a13 a14| ・・・(2a)
|a21 a22 a23 a24|
|a31 a32 a33 a34|
|a41 a42 a43 a44|
の行列式の各要素 aij (i=1,2,3,4, j=1,2,3,4) は,
a,c,d,e,f,g,ha,cd,ef,ghのいずれかにしたいのです.
例えば,det(B)のように,...
A=a+cd+ef+ghそのものを行列式の要素にはしたくないのです.
その代わり,a,c,d,e,f,g,ha,cd,ef,gh は,
行列式の各要素のどの位置にあっても,かまいません.
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