No.3ベストアンサー
- 回答日時:
遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。
>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?
先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。
>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?
除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。
>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?
必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として
f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)
というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)
また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)
自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)
それでは頑張って下さい。
お礼が遅れてしまいすみませんでした。
2度も回答していただき、おかげで解き方を理解する事ができました。本当にありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
回答は出ていますので参考程度に
展開の意味ですね。
連続関数についてのテイラー展開が一般形で、マクローリン展開はその中の特別な場合、原点z=0 での展開ですね。z=0 で特異点(関数が不連続という意味ですね。)を持つ関数ではマクローリン展開もだめなので、特異点をはずしてその近傍で展開するわけですが、それをローレンツ(ローラン:フランス語読みですかね)展開というんですね。
だから、関数f(z)=1/z で考えれば、z≠0 以外では
テーラ展開可能で、z=0 は特異点になるのでマクローリン展開は不可能ですね。
そこで、z=0 の近傍(関数が連続性である限りいくら近くても良い。)にz=0を囲む点群ε を取ってそのεの周りで展開すると展開可能になり、それをローレンツ展開というんですね。
だから、f(z)=1/zは、z=0 の近傍でローレンツ展開可能ということですね。表現はf(z)=1/|z-ε| でしょうか。F0ur1erさんのご指摘のように関数f(z)=1/zをz=-iでローレンツ展開は不可ですね。
関数f(z)=1/(z+i) であれば可能ですね。
簡単にいえばそのような関係でしようか。
お礼が遅れてしまいすみませんでした。
回答と図書館で調べた本で大体解き方を理解する事ができました。本当にありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
こんにちわ。
複素解析学の授業ですか?ところで、例のままではローラン展開とテイラー展開
が一致すると思われます。
(正確にはローラン展開できない(??)と思います。)
---テイラー展開---------------------
f(z)=1/z=z^(-1)
f´(z)=-z^(-2)
f´´(z)=(-1)*(-2)*z^(-3)
……
f^(k)(z)=k!*(-1)^k*z^{-(k+1)}
であるから、z=-iのとき
f^(k)(-i)=k!*(-1)^k*(-i)^{-(k+1)}
また、-i=1/i、-1=i^2であるから
f^(k)(-i)=k!*(i)^{3k+1}
以上から
f(z)=Σ{k=0→∞}1/(k!)*k!*(i)^{3k+1}*(z+i)^k
後はまとめると、
f(z)=Σ{k=0→∞}(i)^{3k+1}*(z+i)^k
----------------------------------------------
一応、関数は違いますが参考までに。
---ローラン展開-------------------------------
f(z)=1/{z*(z-1)}
の、0<|z|<1におけるローラン展開を求める。
f(z)=-1/z+1/(z-1)
と部分分数に展開する。そこで、
g(z)=1/(z-1)とおいて、0<|z|<1でテーラー展開すると
g(z)=Σ{k=0→∞}c_k*z^k
と書ける。ただし、c_k=[g^{(k)}]/k!
また、
g´(z)=-(z-1)^(-2)
g´´(z)=(-1)*(-2)*(z-1)^(-3)
であるから、
g^{(k)}(z)=k!*(-1)^k*(z-1)^{-(n+1)}
これに、z=0を代入すれば、
g^{(k)}(0)=k!*(-1)^k*(-1)^{-(n+1)}
計算すると、
g^{(k)}(0)=k!*(-1)
となり、c_k=-1を得ます。以上から、
f(z)=-1/z-Σ{k=0→∞}z^k
が得られます。
----------------------------------------------
このように、ローラン展開は環状領域R_1<|z-α|<R_2で行われるものが
ほとんどだと思います。このローラン展開で留数などの計算するので
よく覚えたほうがいいと思いますよ。
この回答への補足
丁寧に説明していただきありがとうございます。z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開、関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?そうだとすると、ローラン展開にテイラー展開を用いるのはちょっと抵抗が・・・。質問ばかりですみません。よろしくお願いします。
補足日時:2003/05/23 16:00お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
以前に 「画像のローラン展開は...
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
三角関数系が直交性を持つとい...
-
三乗根を含んだ最小多項式
-
代数学
-
129番 答えに余りが ax+b と置...
-
陪微分とは何ですか?
-
原始多項式の求め方
-
多項式の定義について
-
有理関数を部分分数展開する際...
-
0は偶関数?
-
「a(x^2)+b(y^2)+cxy+dx+ey+f」...
-
例1を組立除法でどうやってkを...
-
CRC方式について教えてください。
-
10進展開についての問題を教え...
-
数学 因数分解 X^3+x^2+x−1 ...
-
座標(1,6)(5,8)(6.-5)(9.17)(14...
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
テイラー展開とローラン展開
-
解法を教えてください
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
多項式について質問です。 エク...
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
余次元って何?
-
約数と因数の違い(∈N)
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
-
問題が理解できません
-
以前に 「画像のローラン展開は...
-
組立除法 1次式 ax-k の係数...
-
単項式と分数式の違いについて
-
約数と因数の違い
-
可算個の不連続点をもつ関数の...
-
deg f?
-
CRCのアルゴリズムって、どんな...
-
e^sinXの展開式について。。。
-
原始多項式の求め方
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
arcsinのマクローリン展開について
-
1となるように正規化
おすすめ情報