
今、有利関数を部分分数展開するところを学習しているのですが、ちょっと疑問に思ったことがあるので質問させていただきます。
参考書には例として以下のように乗っています。
P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2
=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+Ex + F/(x^2+2x+2) + Gx+H(x^2+2x+2)^2
(但し(Pの次数)<(Qの次数))
のように載っています。つまりは積分ができるように変形しているにすぎないのですが、ここで1つ疑問ができたのです。
分母の次数より分子の次数が小さくしなければならにわけですが、分母が(x+3)^2や(x^2+2x+2)の次数は2時ですので次数は定数か1次になるわけです。
部分分数展開するときは分子を文字で置くのがセオリーですが、定数か1次式でおく判断はどのようにつけたらいいのでしょうか?(分子をAとおくのかAx+Bとおくのか)
ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりしてます。
例
1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2
とおくのが正解になっています。第1項は納得なのですが
第2項は分母が2次なので2次より小さければよいので定数ではいけないのか?第3項に至っては分母が4次式になるので分子を3次式もしくは2次式、定数でなくてはいいのか?というのが質問の核となる部分です。
随分ながくなりましたがどうかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2
=A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
について言えば、
前半については
A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3
=(a x^2+ b x^+c)/(x+3)^3
の形に変形した場合、a,b,cが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。a,b,cの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。
同様に後半についても
>(Ex + F)/(x^2+2x+2) + (Gx+H)/(x^2+2x+2)^2
=(e x^3+ f x^2+ g x + h)/(x^2+2x+2)^2
と変形した場合、
e,f,g,hが欠損なく存在すれば左辺の部分展開でよいことになります。e,f,g,hの項が1つでも欠損する展開はすべてを尽くしていないことになり不完全ということになります。
上記のA,B,~,Fのいづれかの係数をゼロとした場合、右辺のa,b,~,fの係数が1つでも欠損すれば正しい展開といえなくなります。確認してみてください。
例についても同様です。
>1/(x-1)(x^2+1)^2
=A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2
前半について
A/(x-1) これは問題なしですね。
後半について
(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
の右辺のb,c,d,eがゼロでないA,B,C,D,Eの式で値が定まれば展開が正しい(左辺と右辺は恒等式)ことになります。
この観点から左辺のBやDをゼロとおいた場合、ゼロでないb,c,d,eの組が定まるか調べてみてください。
そうすれば部分分数の展開式の分子が一次式でないといけないこと(あるいは冗長であるか)が理解できると思います。
確認してみてください。
>前半について
.A/(x-1) これは問題なしですね。
>後半について
>(Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
>=(b x^3+ c x`2 + d x + e)/(x^2+1)^2
長い式を計算してうまくいかないから次数を変えてみるということをしてしまう前にこのように
演算して次数を決めておけばいいんですね。
わかりやすく説明していただきましてありがとうございました。
No.6
- 回答日時:
>ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、
>ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりし
>てます。
これが、「分母(x+3)^2に対する分子を定数と置くこと」に対する疑問であれば、次の式変形で納得いきませんか?
a/(x+3) + (bx+c)/(x+3)^2
= a/(x+3) + {b(x+3)+(c-3b)}/(x+3)^2
= (a+b)/(x+3) + (c-3b)/(x+3)^2
= A/(x+3) + B/(x+3)^2
No.5
- 回答日時:
修正
FとGを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とする
定理(ユークリッドの互除法による定理)により
適当な多項式f、gによって
fg=g・F+f・G
とおける
両辺をF・Gで割って
fg/F/G=g/G+f/F
となる
gをGで割ったあまりをg’、商をg”とし
fをFで割ったあまりをf’、商をf”とすると
fg/F/G=g’/G+f’/F+f”+g”
である
xを∞にすればわかるように当然f”+g”≡0
よって
fg/F/G=g’/G+f’/F
よって次の定理が成立する
定理
F、Gを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とすると
Gの次数未満の適当な多項式gと
Fの次数未満の適当な多項式fにより
fg/F/G=f/F+g/G
となる
F,G,Hが互いに素な多項式ならば定理を使って
fgh/F/(G・H)=f/F+gh/(G・H)
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
fgh/F/G/H=f/F+g/G+h/H
がわかる
fgh、f、g、h、ghの定義はいわずもがな
注意
fgはf×gではなくひとつの多項式
gh、fghも同じ
なお
hの次数がF^2の次数未満であるとき
hをFで割ったあまりをh’、商をh”とすると
h/F^2=h’/F^2+h”/F
h/F^nの場合もこのようにして
/F、/F^2、/F^3、・・・
の項に分解していく
例えば
fg2h3を次数がF・G^2・H^3の次数未満の多項式とすると
fg2h3/F/G^2/H^3
=f/F+g/G+g2/G^2+h/H+h2/H^2+h3/H^3
とおける
ただし
fは次数がFの次数未満の多項式
g、g2は次数がGの次数未満の多項式
h、h2、h3は次数がHの次数未満の多項式
である
長文ありがとうございました。
しかし私には少し内容が難しくてハードルが
高かったようです。もう少し勉強してから
この文章を理解しようと思います。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
No.2で、「最初から m 次式と仮定」を「最初から m-1 次式と仮定」に訂正します。
------------------------
なお、3乗の場合も同様です。
n=3m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。
P(x)を K(x)^2 で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの 2m-1 次式 R(x)を求めます。
さらに、R(x)を K(x)で割り、商の m-1 次式 S(x)と、余りの m-1 次式 T(x)を求めます。
すると、
P(x) = {K(x)^2} Q(x) + K(x) S(x) + T(x)
両辺を K(x)^3 で割ると、
P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}
これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^3}という分数式があって、これを
P(x)/{K(x)^3} = Q(x)/K(x) + S(x)/{K(x)^2} + T(x)/{K(x)^3}
と分解したいとき、Q(x)とS(x)とT(x)は最初から m-1 次式と仮定することができます。
No.3
- 回答日時:
FとGを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とする
定理により
適当な多項式f、gによって
fg=f・F+g・G
とおける
両辺をF・Gで割って
fg/F/G=f/G+g/F
となる
fをGで割ったあまりをf’、商をf”とし
gをFで割ったあまりをg’、商をg”とすると
fg/F/G=f’/G+g’/F+f”+g”
である
xを∞にすればわかるように当然f”+g”≡0
よって
fg/F/G=f’/G+g’/F
よって次の定理が成立する
定理
F、Gを互いに素な多項式とし
fgを次数がF・Gの次数未満の多項式とすると
Gの次数未満の適当な多項式gと
Fの次数未満の適当な多項式fにより
fg/F/G=f/F+g/G
となる
F,G,Hが互いに素な多項式ならば定理を使って
fgh/F/(G・H)=f/F+g/(G・H)
となりさらにこの式の右辺第2項に定理を使って
fgh/F/G/H=f/F+g/G+h/H
がわかる
注意
fgはf×gではなくひとつの多項式
fghも同じ
なお
hの次数がF^2の次数未満であるとき
hをFで割ったあまりをh’、商をh”とすると
h/F^2=h’/F^2+h”/F
h/F^nの場合もこのようにして
/F、/F^2、F^3、・・・
の項に分解していく
No.2
- 回答日時:
n=2m-1 とし、n次の任意の整式 P(x) と、m次の任意の整式 K(x) を考えます。
P(x)をK(x) で割り、商の m-1 次式 Q(x)と、余りの m-1 次式 R(x)を求めます。
すると、
P(x) = K(x) Q(x) + R(x)
両辺を K(x)^2 で割ると、
P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}
これを逆に使いますと、P(x)/{K(x)^2}という分数式があって、これを
P(x)/{K(x)^2} = Q(x)/K(x) + R(x)/{K(x)^2}
と分解したいとき、Q(x)とR(x)は最初から m 次式と仮定することができます。
これでどうでしょう。わかりにくければ補足してください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【高1 数学Ⅰ 二次関数】 二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数と 3 2022/07/23 15:46
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 数学の問題が分かりません! 次の関数y=f(x)の逆関数y=f^-1(x)を求めよ. ※答えが2次関 3 2023/06/22 19:22
- 数学 数学1 二次関数 y=x^4+4x^3+5x^2+2x+3について、 x^2+2x=tとおくときy= 3 2023/05/29 13:21
- 数学 高一数学 二次関数 画像あり 〔 チャート 89ページ 練習112番 〕 (3)です。 前回別の問題 1 2023/08/26 09:34
- 統計学 解き方が分かるくて質問しました。 連続型確率分布 f(x) = 3/4(1 − x^2), − 1 2022/07/21 22:48
- 数学 数学3の式と曲線の、媒介変数表示の曲線の問題で、わからない点がございます。 次の媒介変数表示された曲 3 2022/04/21 14:52
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 高校数学数列の問題で質問です。 次の和を求めよ。 S=1+4x+7x〈2〉+10x〈3〉+・・・+( 3 2023/02/19 17:58
- 数学 x^4-2x^2+16x-15=0 という因数分解の答えが、 (X-1)(X+3)(X^2-2X+5 4 2022/05/15 16:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)を...
-
arcsinのマクローリン展開について
-
(1)ニューグローバルβの190につ...
-
環論
-
多項式について質問です。 エク...
-
斜めの漸近線について
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
この中で多項式はいくつありま...
-
単項式について教えていただき...
-
CRCのアルゴリズムって、どんな...
-
単項式と分数式の違いについて
-
Qバー={α⊂C| αがQ上代数的...
-
多項式の次数
-
数学 因数分解 X^3+x^2+x−1 ...
-
1/xを積分することでなぜlogxが...
-
多項式の性質と無理数・有理数
-
複素関数の問題です。
-
なぜ、2変数以上の多項式を因数...
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
多項式について質問です。 エク...
-
余次元って何?
-
M系列の生成多項式と原始多項式...
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
単項式と分数式の違いについて
-
約数と因数の違い(∈N)
-
なぜ、2変数以上の多項式を因数...
-
例1を組立除法でどうやってkを...
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
剰余の定理と因数分解(あまり...
-
(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)を...
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
パデ近似の利点について教えて...
-
数学に関する質問です。
-
【降べきの順/2つの文字に着目...
-
原始多項式の求め方
-
問題が理解できません
-
整式は有限次数のみ?
-
多項式の定義について
おすすめ情報