方程式の証明

ものすごく基礎的な質問をさせてください。

方程式の証明をするとき、例えば
(a+b)^2=a^2+2ae+b^2の証明を考えてみます。

この時、左辺を式変形(展開)して
左辺=a^2+2ae+b^2=右辺
を示すのが一般的かと思います。

今まで無意識に、変形するともう一方(右辺)と同じ形の式なんなだから、確かに左辺と右辺は等しい事が示せた、と深く考えずに済ましてました。

ふと思ったのですが、上の例で、私は両辺の式が等しいことを式の形が同じになったことで無意識に判断してますが、これって以下のような恒等式の問題で各項の係数比較していることと全く同じですよね？

次の等式が恒等式になるための必要十分条件を示せ
ax+b=2x+3
のように与えられた時、一番簡単には係数比較してa=2 かつ　b=3と求めるかと思います。(係数比較が恒等式になるための必要十分条件であるため。)

ひとつめの例で、左辺を変形して同じ形の式になってることを示してるということは、丁寧に考えると各項の係数が一致して両辺が恒等式になってることを頭の中で判断していることに他なりませんよね？

どうにも、当時いい加減な理解しか出来なかったもので、基礎的な理解に穴が目立ちます。少し時間があるので色々考えてます。

よろしければ、ご指導お願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  お返事ありがとうございます。
  
  今さらながらに、気づくことも多く、なかなか聞く人も周囲には居ないので助かります。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/12 23:34

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/13 12:01

大事な追記。

「方程式の証明」とありますが、前述のように質問文に出て来た等式はどれも方程式ではなくて恒等式です。方程式と恒等式の区別は学習上きちんとしておくべきです。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/13 11:58

全く違います。

最初の問題が「同じである事を示す」と言うものであるのに対して次の問題は「同じになるためにはどんな風でなければならないか」と言うものであって問題の内容が異なります。そもそも最初の証明問題は「この式が恒等式である事を証明せよ」と言う表現もできるわけですから「恒等式になっている事を証明」と言うのは最初から分かっている当たり前の話です。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/13 00:35

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2　自体恒等式ですから

恒等式の証明をしていることになりますよ

No.2 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/05/12 23:48

＞ひとつめの例で、左辺を変形して同じ形の式になってることを示してるということは、丁寧に考えると各項の係数が一致して両辺が恒等式になってることを頭の中で判断していることに他なりませんよね？

違いますよ。最初の例は、ただ掛け算の原則に従って、計算しているだけです。係数の一致もなにも、展開した答えそのものです。難しく考えすぎです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/12 12:51

＞これって以下のような恒等式の問題で各項の係数比較していることと全く同じですよね？

はい、それでよいと思います。

＞丁寧に考えると各項の係数が一致して両辺が恒等式になってることを頭の中で判断していることに他なりませんよね？

はい。

どこまで基本にさかのぼって証明するか、
　1 + 1 = 2
とか
　a(b + c) = ab + ac
とか、そういったものから証明するとなったら大変です。

これとこれは等価であるとか、「恒等式では各次数の項の係数が等しい」、「三角形の内角の和は 180°」、「三角形の合同条件、相似条件」といった「基本事項」は、必要に応じて「○○だから」とか「○○の条件（定理）より」と断って自由に使ってよいと思います。