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No.5
- 回答日時:
√(n^2+21)が整数なら、n^2+21=m^2=(n+k)^2(m,kは整数)ということです。
この時、mが負の値でも成り立つが、mの符号は^2で打ち消されるので、nの値に影響は無い。
つまりm<でもm>0でもnの値は同じとなるので、m>0つまりmが自然数の場合のみ考えればよい。
(m=0の場合はn=±√(-21)となり自然数ではなくなるので該当しない)
mが自然数の場合、n^2=m^2-21<m^2なので、n<mとなり、kも自然数となる。
(n+k)^2=n^2+2nk+k^2=n^2+21より
k^2+2nk=21
2nkは偶数であり、21は奇数なので、k^2は奇数となり、kも奇数です。
k^2+2nk=21(n,kは自然数)よりk^2=21-2nk<21
よって0<k<√21です。
0<k<√21<5を満たす奇数のkは1,3となります。
k=1の時1+2n=21よりn=10
k=3の時9+6n=21よりn=2
よってn=10,2となります。
No.3
- 回答日時:
√(n²+21)が整数xであるとする。
nが自然数ということは、n²は自然数であり、n²+21も自然数である。
またn²+21が自然数であり、√(n²+21)が整数ということは、xは自然数である。
x=√x²であるから、x²=n²+21である。
さてxとnの関係を図示してみよう。
すると一辺がxの正方形から一辺がnの正方形の面積を引いたものが21(青い部分)であることになる。
赤補助線で区切った二つの長方形<x(x-n)とn(x-n)>の合計面積が21である。
ということは、x(x-n)+n(x-n)=21
x(x-n)+n(x-n)=(x+n)(x-n)
x・nともに自然数であり、x>nであるから、x+nとx-nは自然数である。
またx+n>x-nである。
自然数同士を掛け合わせて21になる組み合わせは3と7である。
これらの条件からx+n=7、x-n=3となる。
(x+n)+(x-n)=7+3=10
2x=10 x=5
n=7-5=2
![「√n²+21が整数となるような自然数nを」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/e/758299_58bc5550087fb/M.jpg)
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