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pは素数。
1≦k≦p-1を満たす整数kに対して、次の等式を考えます。p-1Ck-1+p-1Ck=pCk…①
証明はしませんが、パスカルの三角形を考えてもらえば、すぐわかると思います。
①の右辺を考えます。
pCk=p(p-1)…(p-k+1)/k(k-1)…2・1
この式の右辺の分子は(p-k+1)からpまでの連続するk個の自然数の積なので、分母の1からkまでのどの自然数の倍数も必ず含んでいます(1の倍数、2の倍数、3の倍数、…、kの倍数)。したがって、必ず割り切れて、pCkは自然数になるわけです。ところで、分子のpは素数なので割られずに残ります。(p>kですから、分母にpはありません。) ですから、pCkはpの倍数になります。
では、p-1Ckを考えます。
k=1のとき、p-1C1=p-1 pで割った余りは、p-1です。
k=2のとき、①の左辺は、p-1C1+p-1C2となりますが、p-1C1をpで割った余りはp-1なので、①の左辺がpの倍数になるためには、p-1C2をpで割った余りは1となります。
k=3のとき、①の左辺は、p-1C2+p-1C3となりますが、p-1C2をpで割った余りは1なので、p-1C3をpで割った余りはp-1となります。
これを繰り返すことで、
kが奇数の時は、p-1Ckをpで割った余りはp-1
kが偶数の時は、p-1Ckをpで割った余りは1
となります。
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