整数問題についてですが、
「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答えは、「aが偶数であるとき=0,
aが奇数のとき=1」となるのですが、
この求め方として、「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…だからa²を4で割った余りはaの偶奇で決まるから…」というように、aの偶奇で考えているのですが、どのように考えればこのような発想が浮かぶのでしょうか?
また、a²=4k±1,4k+2などというように、a²から直接求めることはできるのでしょうか?
A 回答 (12件中1~10件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.12
- 回答日時:
4を法として考えれば一発です。
合同式を使う。a≡0,1,2,3(mod4)だから両辺を2乗すると
a²≡0,1,4,9≡0,1,0,1(mod4)。
これで終わり。[上の意味は、a²を4で割ると余りが0か1]
No.11
- 回答日時:
a=4k+r
a²=(4k+r)²=4(4k²+2kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,(aを4で割った余りの2乗)を4で割った余りに等しい
a=2k+r
a²=(2k+r)²=4(k²+kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,aを2で割った余りの2乗に等しい
No.10
- 回答日時:
> a=1,2,3…のときa²=1,4,9…『だから』a²を4で割った余りはaの偶奇で決まる
この『だから』は、かなり危うい。
具体例や実験は、数学的事実に対する予想を得る強力な手段ではあるが、
それで得られるものは予想でしかなく、『だから』と推論できるようなものではない。
「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…であることを見ると、
a²を4で割った余りはaの偶奇で決まるように思えてならない」
くらいにしとくのが安全かつ健全。
この「思えてならない」部分を、本当にそうなのか演繹で検証する過程が数学だ。
「aの偶奇で決まるように思えて」のようなシンプルな予想が立つと、
その是非を検証することは易しくなる。この問題の場合...
aが偶数 ⇒ a=2k(kは整数)と書ける ⇒ a²=4k² ⇒ a²を4で割った余りは 0,
aが奇数 ⇒ a=2k+1(kは整数)と書ける ⇒ a²=4(k²+k)+1 ⇒ a²を4で割った余りは 1.
と単純な計算で済む。
良い予想を立てることは、それ自体は証明ではないが、
証明への道標となり得る。
No.8
- 回答日時:
4で割ったときの余りを知りたいなら
「通常は元の数字も4で割った余りを考える」のが基本。
(4で割った余りで場合分けをしていても問題ない)
ただし、今回のように偶奇だけで場合分けをすれば十分な
場合も存在する。その見極めは「実験」。
a^2のあまりは
a=1のとき1
a=2のとき0
a=3のとき1
a=4のとき0
a=5のとき1
a=6のとき0
ここくらいまで計算してみれば
aを4で割った余りで場合分けすることは必要なく
偶奇で場合分けをすればいいことに気づける。
こういった「実験」というのは有効なことが多いので
設定が複雑な問題の場合は実験してみることが大切。
後半の質問、a^2から攻める方法は×。
No.7
- 回答日時:
a²=4k±1,4k+2などというように、a²から求めてはいけません
a=4k±1,4k+2などというように、aから求めるのです
a=4k+1のとき
a²=(4k+1)²=4(4k²+2k)+1=4K+1
a=4k-1のとき
a²=(4k-1)²=4(4k²-2k)+1=4K+1
a=4k+2のとき
a²=(4k+2)²=4(2k+1)²=4K
だから
a²=4K-1になる事はあり得ない
回答ありがとうございます。
質問なのですが、なぜaを4で割ったときで考えるのでしょうか?aを4で割ったものがa²を4で割ったものに繋がるというのがピンときません。
No.5
- 回答日時:
No.3です。
> (a^2)/4は(a/2)^2で考えればいいよねってことですか?
はい、そうです。
aは正の整数なので、
a/2の余りは1か0ですから、
その余りの2乗も1か0、になります。
No.4
- 回答日時:
数学の基本的な考え方で具体化!
してa=1,2,3…のときa²=1,4,9…としていけば
偶数は2n でその2乗は4n^2 と必ず4の倍数ですから0
奇数は2m+1 2m-1 でも2乗すれば
(2m±1)^2=4m^2+4m±1 で余りは1
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 大学受験 合同式 1 2022/09/03 12:37
- その他(教育・科学・学問) 小学生の算数の商について 3 2023/03/06 14:11
- 数学 どうか教えてください。 4 2022/07/02 20:18
- JavaScript 助けてください‼︎ javascriptで質問があります。 配列を定義して、 29342、45342 3 2022/06/26 22:06
- 数学 nは正の整数であり、偶数。 n(n+1)(n+2)(n+3)は素因数が3つ。 nを求めよ。 という問 8 2022/09/26 18:15
- 数学 [x] は,正の整数xの正の約数の個数を表すものとする。 例えば, 12の正の約数は 1, 2, 3 4 2022/08/01 11:20
- C言語・C++・C# C#の問題で2つの整数a,bの最大公約数(GCD)を求めるユークリッドの互除法は,aをbで割った余り 2 2022/06/26 16:52
- 数学 中2 数学 8 2023/06/27 21:56
- 数学 正の数aは4の倍数で、7でわると2余る数である。√576-aが正の整数となるようなaの値を求める 12 2023/06/19 19:34
- 数学 教えてください。 2 2022/06/30 14:26
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
外出時に「待たせる妻」vs イライラする「待つ夫」は日本だけ?見習いたい海外事情
夫の家事参加に積極的なイメージのある海外でも、同様の事例はあるのか。結婚カウンセラーの佐竹悦子さんに伺ってみた。
-
『1>0.999…?』
数学
-
数学得意な方教えてください 平面上の任意の点から同一平面上にある多角形の各頂点までの距離の平均は、多
数学
-
写真についてですが、「左辺がpの倍数でqがpと互いに素であることから、3はpの倍数である」と書かれて
数学
-
-
4
大きな数の掛け算
数学
-
5
数学の問題集で連立方程式の文章題を解いていたのですが、1次方程式で解くことができました。 これは〇で
数学
-
6
中三の数学です。 a>0のとき,a≧√aは常に成り立つとは限らない。成り立たない場合のαの値を1つ答
数学
-
7
二次関数の解の配置問題で納得できないものがあります
数学
-
8
数学 なぜ |α-β| = β-α になるのか
数学
-
9
数学詳しい方、確率についての問題です。
数学
-
10
乗数の合同式の計算
数学
-
11
平方完成の問題を解いていて疑問に思ったことを質問させて頂きます。
数学
-
12
x軸と2点(α,0),(β,0)で交わる放物線を表す2次関数はy=(x -α)(x -β)だと問題集
数学
-
13
図形問題、三平方の定理 添付画像の解き方が分かる方よろしくお願いします
数学
-
14
数学の確率の問題です
数学
-
15
先程 数学の絶対値について質問をしました。 が補足の日本語がおかしくなりましたので 再投稿させていた
数学
-
16
確率の達人お願いします
数学
-
17
写真の②の式がよくわからないです。 確かに、各文字に具体的な数値を代入したら②が成り立つことはわかる
数学
-
18
数学 なぜ( < 1 )があるのか
数学
-
19
整数問題
数学
-
20
『3ℓと5ℓで8ℓ』
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数列です!
-
これの求め方を教えて下さい!...
-
Accessで割り算の余りを求める...
-
余りから商を求める
-
10進法⇒2進法には何故2で割るか
-
〖エクセル〗MOD関数で、小さな...
-
負の余りはあり得ますか?
-
0は奇数か偶数なのか?
-
算数の問題です!
-
剰余演算子(%)を使用しないで余...
-
5進法の計算問題の解き方
-
解き方を教えてください。 中3...
-
困ってます。
-
数II 剰余の定理と因数定理 整...
-
有理数を小数で表すと有限小数...
-
数学についてです。計算の仕方...
-
例題39の一の位は10で割った余...
-
数字のトリック??
-
高1数学Aの問題で、 「a、bは整...
-
数の計算の問題です。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
小学校4年生の算数の教科書で...
-
高1数学Aの問題で、 「a、bは整...
-
190分はなん時間何分ですか?
-
2は5で割り切れません。 あまり...
-
4の100乗を、7で割った余りとい...
-
下記の問題について、「5は素数...
-
1から9の数字を書いたカードが...
-
10進法⇒2進法には何故2で割るか
-
5進法の計算問題の解き方
-
これの求め方を教えて下さい!...
-
1000本のワインがあって、1つは...
-
読んで割っても6で割っても3余...
-
0から9までの数字を使ってでき...
-
負の余りはあり得ますか?
-
問題 整式X³+X²-2X+1を整式B...
-
小学算数の問題です
-
中3の数学の問題
-
順列、組み合わせの問題です。 ...
-
1 から 9 までの数字を使って引...
-
Accessで割り算の余りを求める...
おすすめ情報
回答ありがとうございました。整数問題では、実験して、ある程度規則性を見いだすと簡単に解けるということがわかりました