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数学の質問です。

nを整数とする時、n²を4で割った余りが0,1のいずれかであることを証明せよ。

という問題について、解説では始めに、

整数nは、2で割った余りに着目すると
2k,2k+1 (kは整数)と表せる。...

とありました。
ここで質問ですが、2で割った余りに着目したのは何故でしょうか?また、2以外の数字で割った余りに着目する方法はありますか?

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A 回答 (10件)

問題を まともに考えると、整数を k として、


4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3 と表せる筈です。
これで 計算を進めても 良いですが、
2k=n とすれば 4k=2n, 4k+1=2n+1,
4k+2=2n+2=2(n+1), 4k+3=2(n+1)+1 で、
2で割った余りに着目すれば、全部の整数について
考えた事になりますね。
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この回答へのお礼

みなさんありがとうございました!
どのアンサーも非常に参考になりましたが、一番しっくり来たものを選ばせていただきました。

お礼日時:2022/01/24 16:40

整数nは、


2k:偶数
2k+1:奇数 で現される(kは任意の整数)。
n=2kの時
n²=4k²、n²/4=k²余り0。
n=2k+1の時
n²=4k²+4k+1、n²/4=k²+k余り1。
証明終わり。
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4=2^2 だから, (正の) 偶数であればなにで割った余りを使ってもできるよ.



まあさすがに 5302782 で割った余りに着目しようとは思わないだろうけど (「できるかできないか」という視点では「できる」と答える).
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>ここで質問ですが、2で割った余りに着目したのは何故でしょうか?


うまくいったから。

>また、2以外の数字で割った余りに着目する方法はありますか?
いくらでもありますよ。
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2で割った余りに着目したのは


場合分けの数が最も少ない
偶数の場合
奇数の場合

2通りだから

2以外の数字で割った余りに着目する方法は
4で割った余り
があるけれども
場合分けの数が4通りと多くなる

mで割った余りは
m通りだから
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nが偶数ならn=2mとなる整数mが存在するのでn^2 = 4(m^2)、4で割れば余り0。


 nが奇数ならn=2m+1となる整数mが存在するのでn^2 = 4(m^2)+4m+1、4で割れば余り1。
という風にやっても良いと思うよ。
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基本公式


(割られる数)=(割る数)x(商)+(あまり)
に 当てはめてみますと
n²=4xQ+(0か1)
です
この形を示せれば証明ができたことになります
この形にするためには 商Qの係数が4でなければなりません!

n=2k+○(○は0か1)なら
n^2=(2k+○)^2=4x(k²+○k)+○²
と係数4が出現してくれますから
nは模範解答のような場合分けが最適と言えます

もし n=3k+△だと n²=9k²+・・・となり商の係数4が出現しづらいです
他の奇数でも同様です

n=4k+□ などは 係数4が出現ですが
場合分けの個数が増えます
あまりスマートではありません・・・
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任意の自然数nについて、n≡0,1,2,3[mod4]



両辺を2乗すると、
n²≡0,1,4,9[mod4]

4≡0[mod4]、9≡1[mod4]だから、
n²≡0,1,4,9[mod4]≡0,1,0,1[mod4]
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>nを整数とする時、n²を4で割った余りが0,1


この質問が過去にあるのでそれを参考にしたらわかると思います

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
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2で割った余りに着目すると、


2k:偶数
2k+1:奇数

すべての整数について検証が出来るからです。


n²を3で割った余り、5で割った余りの問題になると、

n=3k
n=3k+1
n=3k+2

n=5k-2
n=5k-1
n=5k
n=5k+1
n=5k+2

として余りを出します。
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