数学の質問です。 nを整数とする時、n²を4で割った余りが0,1のいずれかであることを証明せよ。 と

数学の質問です。

nを整数とする時、n²を4で割った余りが0,1のいずれかであることを証明せよ。

という問題について、解説では始めに、

整数nは、2で割った余りに着目すると
2k,2k+1 （kは整数）と表せる。...

とありました。
ここで質問ですが、2で割った余りに着目したのは何故でしょうか？また、2以外の数字で割った余りに着目する方法はありますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2022/01/22 13:22

問題を まともに考えると、整数を k として、

4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3 と表せる筈です。
これで 計算を進めても 良いですが、
2k=n とすれば 4k=2n, 4k+1=2n+1,
4k+2=2n+2=2(n+1), 4k+3=2(n+1)+1 で、
2で割った余りに着目すれば、全部の整数について
考えた事になりますね。

この回答へのお礼

みなさんありがとうございました！
どのアンサーも非常に参考になりましたが、一番しっくり来たものを選ばせていただきました。

お礼日時：2022/01/24 16:40

No.10 回答者： konjii 回答日時： 2022/01/23 09:35

整数nは、

２ｋ：偶数
２ｋ＋１：奇数　で現される（kは任意の整数）。
ｎ＝２ｋの時
ｎ²＝４k²、ｎ²/４＝k²余り０。
ｎ＝２ｋ＋１の時
ｎ²＝４k²＋４k＋１、ｎ²/４＝k²＋k余り１。
証明終わり。

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/01/22 19:30

4=2^2 だから, (正の) 偶数であればなにで割った余りを使ってもできるよ.

まあさすがに 5302782 で割った余りに着目しようとは思わないだろうけど (「できるかできないか」という視点では「できる」と答える).

No.8 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/01/22 16:41

>ここで質問ですが、2で割った余りに着目したのは何故でしょうか？

うまくいったから。

＞また、2以外の数字で割った余りに着目する方法はありますか？
いくらでもありますよ。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/22 16:25

2で割った余りに着目したのは

場合分けの数が最も少ない
偶数の場合
奇数の場合
の
2通りだから

2以外の数字で割った余りに着目する方法は
4で割った余り
があるけれども
場合分けの数が4通りと多くなる

mで割った余りは
m通りだから

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2022/01/22 15:33

nが偶数ならn=2mとなる整数mが存在するのでn^2 = 4(m^2)、4で割れば余り0。

　nが奇数ならn=2m+1となる整数mが存在するのでn^2 = 4(m^2)+4m+1、4で割れば余り1。
という風にやっても良いと思うよ。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/22 14:56

基本公式

(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)
に　当てはめてみますと
n²=4xQ+(0か１)
です
この形を示せれば証明ができたことになります
この形にするためには　商Qの係数が４でなければなりません！

n=2k+○(○は0か１）なら
n^2=(2k+○)^2=4ｘ(k²+○k)+○²
と係数４が出現してくれますから
nは模範解答のような場合分けが最適と言えます

もし　n=3k+△だと　n²=9k²+・・・となり商の係数４が出現しづらいです
他の奇数でも同様です

n=4k+□　などは　係数４が出現ですが
場合分けの個数が増えます
あまりスマートではありません・・・

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/01/22 14:05

任意の自然数nについて、n≡0,1,2,3[mod4]

両辺を2乗すると、
n²≡0,1,4,9[mod4]

4≡0[mod4]、9≡1[mod4]だから、
n²≡0,1,4,9[mod4]≡0,1,0,1[mod4]

No.2 回答者： jenseits 回答日時： 2022/01/22 13:12

＞nを整数とする時、n²を4で割った余りが0,1

この質問が過去にあるのでそれを参考にしたらわかると思います

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2022/01/22 13:09

２で割った余りに着目すると、

２ｋ：偶数
２ｋ＋１：奇数

すべての整数について検証が出来るからです。


ｎ²を３で割った余り、５で割った余りの問題になると、

ｎ＝３ｋ
ｎ＝３ｋ＋１
ｎ＝３ｋ＋２

ｎ＝５ｋ－２
ｎ＝５ｋ－１
ｎ＝５ｋ
ｎ＝５ｋ＋１
ｎ＝５ｋ＋２

として余りを出します。