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整数問題についてですが、
「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答えは、「aが偶数であるとき=0,
aが奇数のとき=1」となるのですが、
この求め方として、「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…だからa²を4で割った余りはaの偶奇で決まるから…」というように、aの偶奇で考えているのですが、どのように考えればこのような発想が浮かぶのでしょうか?
また、a²=4k±1,4k+2などというように、a²から直接求めることはできるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 回答ありがとうございました。整数問題では、実験して、ある程度規則性を見いだすと簡単に解けるということがわかりました

      補足日時:2023/09/01 12:34

A 回答 (12件中1~10件)

4を法として考えれば一発です。

合同式を使う。

a≡0,1,2,3(mod4)だから両辺を2乗すると
a²≡0,1,4,9≡0,1,0,1(mod4)。

これで終わり。[上の意味は、a²を4で割ると余りが0か1]
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a=4k+r


a²=(4k+r)²=4(4k²+2kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,(aを4で割った余りの2乗)を4で割った余りに等しい

a=2k+r
a²=(2k+r)²=4(k²+kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,aを2で割った余りの2乗に等しい
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> a=1,2,3…のときa²=1,4,9…『だから』a²を4で割った余りはaの偶奇で決まる



この『だから』は、かなり危うい。
具体例や実験は、数学的事実に対する予想を得る強力な手段ではあるが、
それで得られるものは予想でしかなく、『だから』と推論できるようなものではない。
「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…であることを見ると、
a²を4で割った余りはaの偶奇で決まるように思えてならない」
くらいにしとくのが安全かつ健全。
この「思えてならない」部分を、本当にそうなのか演繹で検証する過程が数学だ。

「aの偶奇で決まるように思えて」のようなシンプルな予想が立つと、
その是非を検証することは易しくなる。この問題の場合...
aが偶数 ⇒ a=2k(kは整数)と書ける ⇒ a²=4k² ⇒ a²を4で割った余りは 0,
aが奇数 ⇒ a=2k+1(kは整数)と書ける ⇒ a²=4(k²+k)+1 ⇒ a²を4で割った余りは 1.
と単純な計算で済む。

良い予想を立てることは、それ自体は証明ではないが、
証明への道標となり得る。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。まずは予想を立ててその規則性が見えたら文字を使った一般式?に置き換えて示すのですね

お礼日時:2023/08/29 10:02

どうにも思うのだが, 最後の文のように「a²から直接求めることはできるのでしょうか?」と尋ねる前に自分で手を動かしてやろうとは考え

うか.
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この回答へのお礼

手を動かしてやってみたのですが、うまく求まらなかったので、質問させていただきました。

お礼日時:2023/08/29 09:56

4で割ったときの余りを知りたいなら


「通常は元の数字も4で割った余りを考える」のが基本。
(4で割った余りで場合分けをしていても問題ない)
ただし、今回のように偶奇だけで場合分けをすれば十分な
場合も存在する。その見極めは「実験」。
a^2のあまりは
a=1のとき1
a=2のとき0
a=3のとき1
a=4のとき0
a=5のとき1
a=6のとき0
ここくらいまで計算してみれば
aを4で割った余りで場合分けすることは必要なく
偶奇で場合分けをすればいいことに気づける。
こういった「実験」というのは有効なことが多いので
設定が複雑な問題の場合は実験してみることが大切。

後半の質問、a^2から攻める方法は×。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。最初に実験をしてから規則性を導くのですね

お礼日時:2023/08/29 10:02

a²=4k±1,4k+2などというように、a²から求めてはいけません


a=4k±1,4k+2などというように、aから求めるのです

a=4k+1のとき
a²=(4k+1)²=4(4k²+2k)+1=4K+1
a=4k-1のとき
a²=(4k-1)²=4(4k²-2k)+1=4K+1
a=4k+2のとき
a²=(4k+2)²=4(2k+1)²=4K
だから

a²=4K-1になる事はあり得ない
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質問なのですが、なぜaを4で割ったときで考えるのでしょうか?aを4で割ったものがa²を4で割ったものに繋がるというのがピンときません。

お礼日時:2023/08/29 10:01

No.5です。



> aは正の整数なので、a/2の余りは1か0ですから、
これは間違いでした。
No.3、No.5を無視してください。
失礼しました。
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この回答へのお礼

aは正の整数なので、a/2の余りは1か0ですから、

どこが間違いなのでしょうか?正しいように感じますが…

お礼日時:2023/08/28 16:19

No.3です。



> (a^2)/4は(a/2)^2で考えればいいよねってことですか?
はい、そうです。
aは正の整数なので、
a/2の余りは1か0ですから、
その余りの2乗も1か0、になります。
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数学の基本的な考え方で具体化!



してa=1,2,3…のときa²=1,4,9…としていけば
偶数は2n でその2乗は4n^2 と必ず4の倍数ですから0

奇数は2m+1 2m-1 でも2乗すれば
(2m±1)^2=4m^2+4m±1 で余りは1
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(a^2)/4=(a/2)^2



わざわざ難解な解法を求める意味はありません。
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この回答へのお礼

(a^2)/4=(a/2)^2 の関係が成り立つから、(a^2)/4は(a/2)^2で考えればいいよねってことですか?

お礼日時:2023/08/28 15:20

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