高1数学Aの問題で、 「a、bは整数で、aを5で割ると2余り、bを5で割ると4余る。この時、次の数を

高1数学Aの問題で、
「a、bは整数で、aを5で割ると2余り、bを5で割ると4余る。この時、次の数を5で割ったときの余りを求めよ。」
(1)a＋b
(2)a−b
(3)3a＋7b
(4)ab
(5)aの2条＋bの2条
(6)4aの2条−3bの2条

とあり、答えはそれぞれ
⑴→1
⑵→3
⑶→4
⑷→3
(5)→0
⑹→3

なのですが、全て全く分かりません。
授業もちゃんと聞いて、先生が「この問題は、解説ではややこしく書かれてるけど実際は余りだけで計算すれば行けるよー」的なことを言ってたのですが、全く分かりません。
余りだけを計算するのなら、⑴は答えは6じゃないんですか？
理屈が全くわかりません。もし分かる方いましたら簡単に教えてくださると嬉しいです。

No.7 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/11/16 00:03

「5で割り切れる」というのは「5の倍数」ということを意味しています。

式にすると、5×○です。
「5で割ると2余る」というのは「5の倍数よりいつも2大きい」ということを言っています。
式にすると、5×○+2です。
問題の、aを5で割ると2余り、bを5で割ると4余るを式にすると
a=5m+2、b=5m+4と表したいのですが、aとbを表すとき同じmを使うと、a=2、b=9を表すことが出来ません。したがって違う文字を使います。
a=5m+2、b=5n+4　(m、nは整数)　とします。

(1) a+b
a+b=(5m+2)+(5n+4)
　　=5m+2+5n+4
　　=5m+5n+6
5で割った余りを求めるので、それぞれの項を5で割った余りを考えます。
5m、5nは5×○の形をしているので、5の倍数を意味しているので余りは0です。
6÷5=1余り1なので全体で余りは1になります。
これを式にします。
a+b=5m+5n+5+1　　　共通因数5でくくります。
　　=5(m+n+1)+1
5(m+n+1)は5×○の形で5の倍数です。5×○+1になっているので、
5の倍数よりいつも1大きい、つまり、5で割ると1余ることを表しています。

a+b=(5m+2)+(5n+4)
　　=5m+2+5n+4
　　=5m+5n+6
　　=5m+5n+5+1
　　=5(m+n+1)+1
m+n+1は整数より、5(m+n+1)+1は5で割ると1余る。
よって、a+bは5で割ると1余る。

(2) a-b
a-b=(5m+2)-(5n+4)
　　=5m+2-5n-4
　　=5m-5n-2　　　　　　-2は-5+3にします。これは5の倍数を意識したものです。
　　=5m-5n-5+3　　　　共通因数5でくくります。
　　=5(m-n-1)+3
m-n-1は整数より、5(m-n-1)+3は5で割ると3余る。
よって、a-bは5で割ると3余る。

(3) 3a+7b
3a+7b=3(5m+2)+7(5n+4)
　　　　=15m+6+35n+28
　　　　=15m+35n+34　　　　34は5×6+4のことです。
　　　　=15m+35n+30+4　　　共通因数5でくくります。
　　　　=5(3m+7n+6)+4
3m+7n+6は整数より、5(3m+7n+6)+4は5で割ると4余る。
よって、3a+7bは5で割ると4余る。

(4) ab
ab=(5m+2)(5n+4)
　=25mn+20m+10n+8　　　　　8は5+3
　=25mn+20m+10n+5+3　　　共通因数5でくくります。
　=5(5mn+4m+2n+1)+3
5mn+4m+2n+1は整数より、5(5mn+4m+2n+1)+3は5で割ると3余る。
よって、abは5で割ると3余る。

あとは難しそうに見えて同じことなので難しくはありません。
同じ考え方でやれば出来ると思います
式に代入して、展開して、まとめて、共通因数が5になるように工夫して5でくくる。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/15 19:57

(1) と (4) の説明を書いておこう。

a = 5m + A,
b = 5n + B　(m,nは整数) だとすれば、
a+b = (5m+A) + (5n+B) = 5{ m+n } + (A+B),
ab = (5m+A)(5n+B) = 5{ 5mn+nA+mB } + AB.

どちらの式も { } 内は整数だから、
a+b を 5 で割った余りと A+B を 5 で割った余り、
ab を 5 で割った余りと AB を 5 で割った余りはそれぞれ等しい。

＞ ⑴は答えは6じゃないんですか？

のように、A+B や AB が 5 以上になる場合もあるから、
最後にもう一度 5 で割った余りにしておく必要がある。
...というのをまとめたのが、前述の
(a+b)を 5 で割った余り = ((a を 5 で割った余り) ＋ (b を 5 で割った余り)) を 5 で割った余り,
(ab)を 5 で割った余り = ((a を 5 で割った余り) × (b を 5 で割った余り)) を 5 で割った余り.

これを応用して、足し算掛け算を繰り返してもよいから、例えば
(3) は 3×2＋7×4 を 5 で割った余り、
(5) は 2×2＋4×4 を 5 で割った余りを求める問題となる。

No.5 回答者： 0420sname 回答日時： 2020/11/15 19:11

回答の補足をします。

5で割った余りを求める、というところがしっくり来ていないのではないでしょうか。
aは5Ｘ+2と表せます。bは5Ｙ+4
足すと5（Ｘ+Ｙ）+6、つまり5の倍数に6足した数ですよね。
余りだけ計算すると出てくる数字は6です。6÷5=1余り1（1．2と細かく割り算することを求められていないのです）となり、答え1となります。
実際に具体的な数を入れるとわかりやすいですかね。5の倍数に6足した数、例えば11のとき5で割ったら2余り1です。

引き算すると同じ要領で-2となりますが、例えば5-2は3、10-2は8…
全て5で割ったら3余りますね。

いろいろ勉強されているので混乱しているのです。まず一度小学校の割り算を思い出してみましょう！

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/15 19:02

＞ ⑴は答えは6じゃないんですか？

その 6 を 5 で割った余りが 1。
もともと「5で割ったときの余りを求めよ」という問題だよね。
6 が答えになるわけないでしょ。

(1) と (4) について
(a+b)を 5 で割った余り = ((a を 5 で割った余り) ＋ (b を 5 で割った余り)) を 5 で割った余り,
(ab)を 5 で割った余り = ((a を 5 で割った余り) × (b を 5 で割った余り)) を 5 で割った余り.
という関係が成り立つ... というのが剰余環の成り立ちであり、
先生の「余りだけで計算すれば行ける」という言葉の意味でもある。

No.2へのお礼欄の言葉は、
問題の内容を理解していて、回答者を小馬鹿にしているとしか思えないな。
割り算の余りの話をしているときに、なぜ
小数で割り切る割り算を登場させるのか？
その上、四捨五入とは何のつもりか。

この回答へのお礼

ごめんなさい。私ほんと頭悪くて全然分からなかったんですけど小馬鹿にしたつもりは全くないです。不快にさせたのなら申し訳ございませんでした。

お礼日時：2020/11/15 19:45

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/15 18:58

合同式をマスターすれば、実に簡単にできるよ。

普通の=と同じ様に計算出来る。

(1)は6余ったなら、未だ余りも5で割れるから、答えは1。

a≡2、b≡4 (mod5)
5≡0(mod5)　①

a+b≡6
①の両辺に1を足すと6≡1(mod5)だから、a+b≡6≡1(mod5)
[だから余り1]

a−b≡-2
①の両辺から2を引くと、3≡-2(mod5)
∴a−b≡-2≡3(mod5)　[だから余り3]

3a＋7b≡3×2+7×4=33 5で割ると余り3
∴3a＋7b≡３　[だから余り3]

a²＋b²≡2²＋4²=20 5で割ると余り0
∴a²＋b²≡0　[だから余り0]

4a²−3b²≡4×2²-3×4²=-32 5で割ると余り-2だから
4a²−3b²≡-2
①の両辺から2を引くと3≡-2
∴4a²−3b²≡3　[だから余り3]

No.2 ベストアンサー 回答者： 0420sname 回答日時： 2020/11/15 17:35

たぶん、すでにご自身でほとんど理解されているのでご安心してください。

（1）が6だと思ったのですね。今回求めるのは5で割った余り。6ということは5で割ったら1ですよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
6を5で割ると1.2ですが、四捨五入して1という事ですか？
また、それと同じように(2)を解いてみたのですが上手くいきません。
2−4＝−2ですよね？
それを5で割ると−0.4になるのですが…

お礼日時：2020/11/15 18:16

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2020/11/15 17:33

aを5で割ると2余り…だから、商をmとすると

a=5m+2
同様にbの商をnとすると
b=5n+4
(1)a＋b
=5m+2+5n+4
=5(m+n)+6
=5(m+ﾝ+1)+1→余り１

(2)a−b
=5m+2-(5n+4)
=5(m-n)-2：2=5-3だから
=5(m-n-1)+5-(5-3)
=5(m-n-1)+3→余り3

こんな感じで。後はご自分で！