割り算の余り

a,bは整数とする。
aを5で割ると3余り、bを5で割ると2余る。
この時、a^122を5で割った時の余りを求めよ。

青チャートの解説の意味が良く分からず、
やり方を詳しく解説して頂けると助かります。
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 問題は4問あり、(1)a+b (2)a-b (3)ab (4)a^122
  を求めよで、1〜3は解けたのですが、
  4のやり方がわからないのです。
  問題はこれだけです。

    補足日時：2020/11/09 08:48

No.6 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/11/09 23:31

5で割ると3余る整数の一の位は3か8です。

3^2=9 9÷5=1余り4　　　8^2=64　　64÷5=12余り4
3^3=27 27÷5=5余り2　　　8^3=512　　512÷5=102余り2
3も8も同じ累乗なら余りが同じ数になります。
3の累乗したときの一の位を注目すると、
　　　　　一の位　　5で割った余り
3^1 3　 3
3^2 9　 4
3^3 7　 2
3^4 1　 1
3^5 3　 3
3^6 9　 4
3^7 7　 2
3^8 1　 1

5で割った余りは3,4,2,1の繰り返しになるのがわかります。
3,4,2,1をひとつのグループとして、122はいくつに対応するかを考えます。
122÷4=30余り2
なので、31回目の繰り返しの2番目の数になります（30回繰り返した後の2番目の数）。
したがって、余りは4です。

この回答へのお礼

遅くなりすみません！
詳しく教えて頂きありがとうございます。
良く分かりました！

お礼日時：2020/11/12 18:19

No.7 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/12 18:06

aを5で割ると3余るので、a=5k+3 とおけます。

a²=(5k+3)²=25k²+30k+9=25k²+30k+5+4=5(5k²+6k+1)+4
a²を5で割ると4余るので、a²=5l+4 とおけます。……①

a⁴=(a²)²=(5l+4)²=25l²+40l+16=25l²+40l+15+1=5(5l²+8l+3)+1
a⁴を5で割ると１余るので、a⁴=5m+1 とおけます。

a⁸=(a⁴)²=(5m+1)²=25m²+10m+1=5(5m²+2m)+1
a⁸を5で割ると1余ります。
このことから、a⁴ は何回掛けても（何乗しても）５で割ると1余るということがわかります。

a^122=a^(120+2)=a^120・a^2=(a^4)^30・a^2
(a^4)^30 は5で割ると1余るので、(a^4)^30=5n+1 とおけます。……②
①、②より、
a^122=(a^4)^30・a^2
=(5n+1)(5l+4)
=25ln+5l+20n+4
=5(5ln+l+4n)+4
したがって、
a^122 を５で割ったときの余りは４です。
（文中の k , l , m , n はすべて整数）

この回答へのお礼

良く分かりました！
ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/13 19:39

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/09 12:31

合同式をつかったら？

a≡3[mod5]だからa⁴≡3⁴≡1[mod5]

a¹²²=(a⁴)³⁰×a²

a⁴≡1だったから
a¹²²≡1³⁰×a²=a²[mod5]

a²≡3²≡4[mod5]

これでa¹²²を5で割った余り=4だと解る。

この回答へのお礼

合同式はまだ習っていなくて、、。
ありがとうございました！

お礼日時：2020/11/09 14:10

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/09 11:47

>>a^122を5で割った時の余りを求めよ。

記入ミスして無いかい？　bが出て来ない。
「a^122をbで割った時の余り」では無いかいな？

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/09 11:36

(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)　これは基本公式ですよね

ゆえに　aを5で割ると3余り　商がｎであるとすれば
a=5n+3
両辺122乗で
a¹²²=(5n+3)¹²²
＝(5n)¹²²+₁₂₂C₁(5n)¹²¹・3¹+₁₂₂C₂(5n)¹²⁰・3²＋
・・・+₁₂₂C₁₂₁5n・3¹²¹+3¹²²　←←←展開の仕方は
　　　　　　　　　　　　　　　「数学A、場合の数の」単元で習う
　　　　　　　　　　　　　　　「2項定理」を参照
＝5K+3¹²²　←←←右端の項：3¹²²以外はすべて5の倍数なので
　　　　　　　　　ひとまとめにして（共通因数５をくくりだして）
　　　　　　　　　5ｘ整数+3¹²²です

よって　a¹²²=5K+3¹²²
再度基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)　にあてはめると
a¹²²を5で割った時の商がKで　あまりが3¹²²　という形をしています

ただしこのままではあまり３¹²²が5より大きいので不適切
三度　(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)
を利用して
3¹²²=5M+R　というように　a¹²²を5で割った時の余りを考えます
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
で以下３を掛けていくと　一の位は　9→7→1→３→９・・・の順番になるので
３を4回掛け算するごとに一の位が同じ数字になることは明らか
３¹²²=3¹²⁰x３²=(3⁴)³⁰x３²なので
３¹²²は3を４回かけるサイクルを30回繰り返してさらに3を2回掛け算したもの
したがってその1の位は９です
５での割り算は
11÷5=2あまり１
29÷5=5あまり9-5=4
といった具合で1の位をみれば分かるので
１の位が９である3¹²²を５で割った時の余りは4
このことから
３¹²²=5M+4であることがわかります（商Mは不明ですが問題を解くためにはわからなくても支障がありません）

これを用いて
　a¹²²=5K+3¹²²
=5k+5M+4
=5(k+M)+4

これは　(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)より
a¹²²を5でわると商がK＋Mあまりが４であること示しています！

この回答へのお礼

詳しく説明して下さりありがとうございます！
ここで場合の数が使えるとは！
良く分かりました。

お礼日時：2020/11/09 14:12

No.2 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2020/11/09 09:25

a÷5＝nあまり3、ならば、a＝5n＋3、と言えます。

(5n+3)の2乗＝25nの2乗＋30ｎ＋9＝5(5nの2乗＋6ｎ)＋3の２乗
ですから、(5n+3)の2乗を5で割ったときのあまりは、3の2乗を5で割ったあまりと同じです。

(5n+3)の3乗＝125nの3乗＋75ｎの2乗＋45n＋27＝5(25nの3乗+15ｎの2乗+9n)＋3の3乗

ですから、(5n+3)の3乗を5で割ったときのあまりは、3の3乗を5で割ったあまりと同じです。

つまり､､､

(5n+3)の2乗を5で割ったあまり＝3の2乗を5で割ったあまり
(5n+3)の3乗を5で割ったあまり＝3の3乗を5で割ったあまり
(5n+3)の4乗を5で割ったあまり＝3の4乗を5で割ったあまり
……
と考えることができます。
（4乗以降については考えて見てください。）

従って､､､

aの122乗を5で割ったあまり
＝(5n+3)の122乗を5で割ったあまり
＝3の122乗を5で割ったあまりと考えられます。

3の1乗÷5＝3÷5＝0あまり3
3の2乗÷5＝9÷5＝1あまり4
3の3乗÷5＝27÷5＝5あまり2
3の4乗÷5＝81÷5＝16あまり1
3の5乗÷5＝243÷5＝48あまり3
3の6乗÷5＝729÷5＝145あまり4
……

あまりは、どうやら、3,4,2,1の繰り返しであるようです。
であるならば、3,4,2,1の4つの数字を繰り返している数列の122番目の数が答えになるでしょう。

※3＝(5-2)として捉えれば、？乗を5で割った時のあまりが、3,4,2,1の繰り返しになることも説明できそうです。余力があれば、ご自分で確かめてみてください。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。
ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/09 14:08

No.1 回答者： タムシバ 回答日時： 2020/11/09 08:36

問題の文中で何かが抜け落ちてない？

これだけでは，解けないのでは？