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数学の質問です。

3で割ると2余り、5で割ると4余る2桁の自然数はいくつあるか。

という問題で、私の解答は、
求める自然数をnとして、
nを3で割ると2余ることから、n−2は3で割り切れる。
n−2=3k (kは整数)... ①
同様に、
n−4=5ℓ(ℓは整数)...②
①、②を用いてnを消去して
3k +2=5ℓ+4
3k−5ℓ=2 ...③
k=−1、ℓ=−1のとき③は成立するので、不定方程式の整数解の考え方から
3(k +1)−5(ℓ+1)=0
3(k +1)=5(ℓ+1)
と変形できる。
3と5は互いに素だから、(k+1)は5の倍数。よって
k=5m−1(mは整数)
と表せる。
ここで、nは2桁の自然数だから、
10≦n≦99 ①を代入して、
8/3≦k≦97/3 これを満たす整数kは31コあるから、条件を満たす自然数nは31コある。

としたのですが、答えは6個でした。
ここで質問ですが、私の回答のどこが間違っているのかわかりません。詳しい方お願いします。

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A 回答 (7件)

>私の回答のどこが間違っているのかわかりません。



>8/3≦k≦97/3 これを満たす整数kは31コあるから、条件を満たす自然数nは31コある。

が間違ってますね。正しくは

8/3≦k≦97/3 と、「(k+1)は5の倍数」を満たす整数kは
 4、9、14、19、24、29の6コある
から、条件を満たす自然数nは6コある。

でしょう。
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この回答へのお礼

皆さんありがとうございました!
ベストアンサーは最も理解することができた回答者様の回答にさせていただきました。

お礼日時:2022/01/29 15:13

8/3≦k≦97/3


↓これにk=5m-1を代入して
8/3≦5m-1≦97/3
8/3+1≦5m≦97/3+1
11/3≦5m≦100/3
11/15≦m≦20/3
11/15≦m≦6+2/3
1≦m≦6
これを満たすmは6個あるから
条件を満たす自然数nは
6
こある
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>3で割ると2余り、5で割ると4余る2桁の自然数はいくつあるか。



同じ意味で 次のように考えると 楽に答え出ますよ。
「2桁の自然数に 1 を加えると、3でも5でも 割り切れる」。
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k=4、9、14、19、24、29


だから6個

k+1が5の倍数が抜けてる。

別解

5で割って4余る2桁の自然数は、1の位が4か9

1の位が2か7の3の倍数は、両桁の和が3の倍数になるから
12、42、72
27、57、87

答え=6個
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あなたの、最後の不等式に


K=5m-1
を代入せねば…
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3で割ると2余り、5で割ると4余る2桁の自然数より、


同時に両方を満たす事が必要です。(ここが重要)
求める数を、nとすると、n+1は、3でも5でも割り切れます。
n+1=3k=5ℓよって、3k=5mと置くと、ℓ=3m(m : 整数)
よって、n=15m-1です、10≦15m-1≦99これを満たすmを求める。
1≦m≦6
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K=5m-1


を使うのを忘れているよ
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