(1) 方程式 65x+31y=1の整数解をすべて求めよ。 (2) 65x+31y=2016 を満た

(1) 方程式 65x+31y=1の整数解をすべて求めよ。

(2) 65x+31y=2016 を満たす正の整数の組(x, y)を求めよ。

(3) 2016以上の整数は、正の整数x,yを用いて=65x+31y と表せることを示せ。


(3)の解答の65で割ったあまりは0〜64全て取るというのはなぜ分かるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/06/29 11:20

まあ、当たり前の事なんだけど、一応それらしく。

65x+31yを65で割ると、x+31y/65。
余りが出るのは31y/65の方から。

31yが65の倍数なら31y/65は65で割り切れる。
それ以外の場合は余りmが出る。
これを式で書くと、31y=65n+m [mは1～64]

移項すると、31y-65n=m
m=1の場合は、不定方程式31y-65n=1を解く問題で解がある。
それ以外は上の不定方程式の解のm倍が解になる。

だから、65で割り切れるか、余りが出るなら余りは1～64の全てが出てくる。

この回答へのお礼

納得出来ました。ありがとうございます

お礼日時：2022/06/29 11:29