整数解

x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0
　を満たす　整数解(x,y,z)達を
　　導出法を明記し　求めて!

No.1 回答者： lasato 回答日時： 2018/09/27 22:55

個数は有限個ですか？

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 14:37

g(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0＿＿①

　を満たす　整数解(x,y,z)を求めよ、
二次形式をf(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2＿＿②
とする。
対称性からx≧y≧z≧0＿③と仮定し、これを満たす解のみを求める。
x<0の場合は別途、検討して下さい。
以下、2次形式の理論により、行列の固有値と固有ベクトルを求め行列を対角化すると、
二次形式f(x,y,z)を標準形④にできる。
この理論は次回述べるので、④の括弧をはずして式②と合っていることを確認してもらえればよい。
f(x,y,z)=－(1/3)(x+y+z)^2+(1/3)(2x－y－z)^2+(y－z)^2＿④
すると
g(x,y,z)= f(x,y,z) +24=x^2－2 x y－2 x z+y^2－2 y z+z^2+24=0
=－(1/3)(x+y+z)^2+(1/3)(2x－y－z)^2+(y－z)^2+24=0＿⑤
両辺を3倍して第1項を求めると
(x+y+z)^2＝(2x－y－z)^2+3(y－z)^2+72＿⑥
この式の右辺は偶数であることを確認する。
右辺=4x^2－4x(y+z)+ (y+z)^2+3(y－z)^2+72
=4x^2－4x(y+z)+y^2+2yz+z^2+3(y^2－2yz+z^2)+72
=4x^2－4x(y+z)+4y^2－4yz+4z^2+72
=4(x^2－x(y+z)+y^2－yz+z^2+18) ＿＿⑦
右辺は偶数であることが確認された。従って、左辺のx+y+zは偶数でなければ解とならない。
ここで⑧と置くと式⑥は⑨となる。k^2について解くと⑩．x+y+z=nは偶数とする。
2x－y－z=k，y－z=m， x+y+z=n＿⑧
(x+y+z)^2＝(2x－y－z)^2+3(y－z)^2+72＿⑥
n^2＝k^2+3m^2+72＿⑨
k^2=n^2－3m^2－72＿⑩
⑩の左辺はk^2≧0だから右辺もn^2－3m^2－72≧0でなければ解とならない。よって
n^2≧3m^2+72≧72，n≧√72=8.4＿＿⑪
n=9以上の偶数と、m≧0のmを組合わせて
k=√(n^2－3m^2－72) ＿＿⑫
の平方根が開ける数を探すと、以下に示す多数の組が見つかる。この組み合わせの個数は、無限であるかもしれない。
n 10 10 10 14 14 14 18 18 18 22 22 22 34 34
m 1 2 3 1 5 6 3 6 9 2 9 11 9 19
3 5 4 1 11 7 4 15 12 3 20 13 7 29 1
表１参照
n， m，kがわかったので、式⑬を使ってx，y，zを求めることができる。
2x－y－z=k，y－z=m， x+y+z=n＿⑬
y =m+z＿＿⑭
2x－m－2z=k
x+ m+2z=n
3x=k+n
x=(k+n)/3＿＿⑮
z=(n－m－x)/2＿＿⑯
y =m+z＿＿⑰
⑮⑰の割り算で割り切れない場合は整数解にならないので除去する。
表2ができる。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 20:08

x<0等の場合を検討しても、x,y,zの符号を全部変えるほか新しい解はない、ようである。

次に前回省略した二次形式の理論を追加する。行列の式は正確に表示できないので、
なるべく図に書いたので見て下さい。
g(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2+24=0＿＿①
二次形式をf(x,y,z)=x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2とする。
f(x,y,z)+24を2次形式の形に書くと②となる。この2次形式を特徴づける行列はA＿③である。以下、2次形式の理論により、行列の固有値と固有ベクトルを求め行列を対角化する。2次形式と行列の対角化の計算を示す。さらなる解説は教科書に譲る。
f(x,y,z)= (x y z)A(x y z)t= x^2-2 x y-2 x z+y^2-2 y z+z^2＿＿②
A=〔　1 －1 －1 ＿＿③
　 　 －1　 1 －1
　　 －1 －1 1 〕
det(A－λI)=(1－λ)^3－3(1－λ)－2=0は行列Aの特性方程式である。
t= 1－λ とおくと t^3－3t－2=0。これを解いて、t=－1 ，t=2(重根)
固有値はλ=－1，λ=2＿＿④
次に固有方程式(A－λI)x=0から固有ベクトルを求める。λ=－1に属する固有ベクトルは
〔 2 －1 －1 〔a　=0 2a－b－c=0 a=b=c=1 λ=－1 　x1＝(1,1,1)t/√3＿⑤
　－1 2 －1　　 b 　　－a＋2b－c=0
　－1 －1 2 　c 〕 　 －a－b+2c=0
〔－1 －1 －1 〔a a+b+c=0
　－1 －1 －1　 　b a=2，b=－1，c=－1　　x2＝(2, －1, －1)t/√6＿⑥
　－1 －1 －1　 　c〕 a=0，b=1，c=－1　　　x3＝(0, 1, －1)t/√2＿⑦
⑤⑥⑦により得られた固有ベクトルから、変換行列Tを作る。
T= (x1 x2 x3)=〔　1/√3 2/√6 　0 　＿＿⑧
　　　 　　 　　　1/√3 －1/√6 1/√2　
　　　 　　　　 1/√3 －1/√6　－1/√2　〕
Tが得られたら、T^(－1) A TによりAは対角化されてΛ＿⑨となる。
A T = 〔1 －1 －1 1/√3 2/√6 　0
　 　－1　 1 －1　 1/√3 －1/√6 1/√2
　　－1 －1 1〕1/√3 －1/√6　－1/√2〕
=〔－1/√3 4/√6 0
　　 －1/√3 －2/√6 √2
　　 －1/√3 －2/√6 －√2〕
T^(－1) A T = 〔　1/√3 1/√3 1/√3　　〔－1/√3 4/√6 0
　 　　　　2/√6 －1/√6 －1/√6　 －1/√3 －2/√6 √2
　　　　　 0 　1/√2　－1/√2〕 －1/√3 －2/√6 －√2〕
=〔－1 　0 　0 =Λ＿＿⑨
0 　2 　0
　 0 　0 　2〕
対角化ができたので、逆にΛを使ってAを表す。Λを使って二次形式(x y z)A(x y z)tを表す。
TΛT^(－1)=A
(x y z)TΛT^(－1) (x y z)t = (x y z)A(x y z)t
(x y z)T=(x y z)〔 1/√3 2/√6 　0　　= (x+y+z)/√3 (2x－y－z)/√6 (y－z)√2
　　　　1/√3 －1/√6 1/√2
　　　1/√3 －1/√6　－1/√2〕
T^(－1) (x y z)t=〔 1/√3 1/√3 1/√3　 〔x　= 〔 (x+y+z)/√3
　　　　 2/√6 －1/√6 －1/√6 y 　　　(2－y－z)/√6
　　　　 0 1/√2　－1/√2〕　 z〕 　　 　(y－z)√2 〕
(x y z)A(x y z)t= (x+y+z)/√3 (2x－y－z)/√6 (y－z)√2　Λ〔 (x+y+z)/√3
(2x－y－z)/√6
(y－z)√2 〕
=－(x+y+z) ^2/3+(2x－y－z)^2/3+(y－z)^2＿＿⑩
二次形式f(x,y,z)を標準形にできたので
g(x,y,z)= f(x,y,z) +24=x^2－2 x y－2 x z+y^2－2 y z+z^2+24=0
=－(x+y+z) ^2/3+(2x－y－z)^2/3+(y－z)^2+24=0＿＿⑪
ここからNo.1の式⑤につながる。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/30 20:51

⑨の次の式もうまく表示されないので、行列の式を図にした。