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線形代数で
3x3行列の固有値と固有ベクトルの解法を教えてください。

(3 3 2)
(3 2 3)
(2 3 3)

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A 回答 (3件)

特性方程式を求めると


|A-tE|=
=
|3-t,3,2|
|3,2-t,3|
|2,3,3-t|
=((2-t)*(3-t)-9)*(3-t)-3*(3*(3-t)-6)+2*(9-2*(2-t))
=-(t+1)(t-1)(t-8)

 (t+1)(t-1)(t-8)=0

特性方程式の解すなわち固有値は
 t=-1,1,8

t=-1に対する固有べクトルを求めると

(A-tE)X=

(4,3,2)(x)
(3,3,3)(y)=0
(2,3,4)(z)

4x+3y+2z=0 ...(1)
x+y+z=0 ...(2)
2x+3y+4z=0 ...(3)

この自明解(x,y,z)=(0,0,0)以外の解が固有ベクトルであるから

(1)-(2) → x-z=0
(3)-(2) → z-x=0

x=z=c1
(2) → y=-2c1

固有ベクトル(列ベクトル)は c1(1,-2,1) (cは任意定数)

同様にして
t=1に対する固有ベクトル(列ベクトル)求めると c2(1,0,-1) (c2は任意定数)
t=8に対する固有ベクトル(列ベクトル)求めると c3(1,1,1) (c3は任意定数)

なお、(答)としては、任意定数c1,c2,c3をつけた固有ベクトルで答えても
c1=c2=c3=1 とした固有ベクトルで答えてもよい。
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No.2です。



3×3行列に対する具体的な例題が載っている参考URLがありますので
付け加えます。

なお、ANo.2に書いた特性方程式は、参考URLにもあるように、
固有方程式と呼ばれることも多いですね。

参考URL:http://www.eva.ie.u-ryukyu.ac.jp/~endo/classes/e …
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こちらの手順に従えば求められます。



http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra …
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