確率の問題です、解き方を教えてください

点Qが数直線上の原点から出発し、1秒毎に正または負の方向に1/2の確率で1だけ移動し、3又は-3に到着すると動きを止めるものとする
n秒後に点Qが3又は-3にある確率Pnを求めよ



解き方を教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/03/14 21:53

行列とか固有値とかはちょっと難しいでしょうから、普通に漸化式で解く方法を。

p(t+1,3) = p(t,3) + (1/2)p(t,2)
p(t+1,2) = (1/2)p(t,1)
p(t+1,1) = (1/2)p(t,2) + (1/2)p(t,0)
p(t+1,0) = (1/2)p(t,1) + (1/2)p(t,-1)
p(t+1,-1) = (1/2)p(t,0) + (1/2)p(t,-2)
p(t+1,-2) = (1/2)p(t,-1)
p(t+1,-3) = (1/2)p(t,-2) + p(t,-3)
まではいいですね。

ここで、
q(t,3) = p(t,3) + p(t,-3)
q(t,2) = p(t,2) + p(t,-2)
q(t,1) = p(t,1) + p(t,-1)
q(t,0) = p(t,0)
と置くと、
q(t+1,3) = q(t,3) + (1/2)q(t,2)
q(t+1,2) = (1/2)q(t,1)
q(t+1,1) = q(t,0) + (1/2)q(t,2)
q(t+1,0) = (1/2)q(t,1)

これを整理して、q(t,3)だけの式にすると、

q(t+3,3) - q(t+2,3) = (3/4){q(t+1,3) - q(t,3)}

となって、q(t+3,3)-q(t+2,3)　は等比数列になるからあとは解けますね。

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/03/16 22:33

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/15 14:52

ああ、計算間違い。

固有値は 0, 1, ±(√3)/2 だった。

No.5 さんのように、u(t) の成分を (q(t,3),q(t,2),q(t,1),q(t,0)) と置いて
q(t,2), q(t,1), q(t,0) を消去すれば、
q(t+3,3) - q(t+2,3) - (3/4) q(t+1,3) + (3/4) q(t,0) = 0 となるから、
特性方程式 x^4 - x^3 - (3/4)x^2 + (3/4)x = 0 を解いて
x = 0, 1, ±(√3)/2 を得れば、
一般解 q(t,3) = B + C{(√3)/2}^t + D{-(√3)/2}^t が求められる。
初期条件から定数 B, C, D を決めれば、完了。
それには、連立漸化式に戻って、q(1,3), q(2,3) を求めよう。

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/03/16 22:33

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/14 12:08

7次行列を扱うのは、さすがにシンドイけれど、

ベクトル u(t) = (p(t,3)+p(t,-3), p(t,2)+p(t,-2), p(t,1)+p(t,-1), p(t,0))
を考えれば、4次行列の話で済む。
固有値は、0, 1, (1±√5)/4 になるね。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/13 22:15

時刻 t に位置 x に居る確率を p(t,x) と置くと、

p(t+1,3) = p(t,3) + (1/2)p(t,2),
p(t+1,2) = (1/2)p(t,1),
p(t+1,1) = (1/2)p(t,2) + (1/2)p(t,0),
p(t+1,0) = (1/2)p(t,1) + (1/2)p(t,-1),
p(t+1,-1) = (1/2)p(t,0) + (1/2)p(t,-2),
p(t+1,-2) = (1/2)p(t,-),
p(t+1,-3) = (1/2)p(t,-2) + p(t,-3).
これを、ベクトル v(t) = (p(t,3),p(t,2),…,p(t,-3))
についての漸化式と見れば、v(t+1) = A v(t) と書ける。
要するに、行列 A の t 乗を求める問題。
v(t) を求めたら、p(n,3)+p(n,-3) が答えになる。

行列の n 乗の求めかたを知らなければ、
「行列 巾乗 対角化」を google してみよう。

この回答への補足

v(t+1) = A v(t) と書けると書いてあるのですが
p(t+1,2) = (1/2)p(t,1),
p(t+1,1) = (1/2)p(t,2) + (1/2)p(t,0),
p(t+1,0) = (1/2)p(t,1) + (1/2)p(t,-1),
のように和になってないのがあったり(1/2)p(t,0)みたいな別のものが混じってたりするのですが書けるのですか？
また、なぜ漸化式が行列 A の t 乗を求める問題になるのでしょうか？
高校範囲でお願いします

補足日時：2013/03/14 20:55

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2013/03/13 20:05

おっと失礼。

先ほどの回答には計算誤りがありました。
いったんチャラにしてください。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/03/13 19:51

+3に到達する場合を考えてみましょうか。

正の方向へ動いた回数 - 負の方向へ動いた回数 = +3
ですから、(3, 0)とか(4, 1)とか(5, 2)とかいう風に、
正の方向へ動いた回数と負の方向へ動いた回数の和は必ず奇数になります。
よって、nが偶数のとき、 Pn = 0
以降、nが奇数の場合だけを考えます。
n = 1のとき、Pn = 0
n = 3のとき、2回目までで+2にいて、3回目で+1
2C2・(1/2)^2・(1/2) = (2・1)/(2^4)
要するに、3回連続で+1するということ。
n = 5のとき、4回目までで+2にいて、5回目で+1
4回目までのどこか2回で+1、他の2回は-1
4C2・(1/2)^2・(1/2)^2・(1/2) = (4・3)/(2^6)
n = 7のとき、6回目までで+2にいて、7回目で+1
6回目までのどこか4回で+1、他の2回は-1
6C4・(1/2)^4・(1/2)^2・(1/2) = (6・5)/(2^8)
n = 9のとき、8回目までで+2にいて、9回目で+1
8回目までのどこか6回で+1、他の2回は-1
8C6・(1/2)^6・(1/2)^2・(1/2) = (8・7)/(2^10)
規則性が見えてくるのではないでしょうか。