どこにいますか。

1秒ごとに加速度が変わるとします。

はじめ、位置は0で速度は0です。
加速度は、はじめ0で、あとは、1秒ごとに、1増えるかそのままか1減ります。どれになるかはランダムでそれぞれ確率1/3で起こります。

t秒後に原点からSの距離以上、離れる確率はどのぐらいですか。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/25 16:25

時刻n(非負整数)秒の時点で、速度がv(整数)である確率をP[n](v)、位置がx(整数)である確率をQ[n](x)としますと、

　　P[n](v) = (1/3)P[n-1](v-1) + (1/3)P[n-1](v) + (1/3)P[n-1](v+1) …(1)
　　Q[n](x) = Σ|v=-∞〜∞] (P[n-1](v) Q[n-1](x - v)) …(2)
　　P[0](v) = (if v=0 then 1 else 0)
　　Q[0](x) = (if x=0 then 1 else 0)
という漸化式。で、「t秒後に原点からSの距離以上、離れる確率」は
　　Σ[|x|＞S] Q[t](x)

　さて、式(1)がタマタマ持っている性質を使ってP[n](v)やQ[n](x)の一般項を計算する、ということも考えられはする。けれども、もともと「1増えるかそのままか1減ります。… 確率1/3で起こります」なんてのはキブンで決めただけの恣意的なルールに過ぎず、たとえば「じゃあ今度は、1増えるのが確率1/2、そのままが確率1/3、1減る確率と2減る確率が1/12だったら？」とか言われたら全部ご破算。
　しかしその場合でも、上記の漸化式は、(1)式の右辺の重み係数を修正するだけです。というわけで、これ以上イジクったってバカバカシイ「お受験数学」になってしまう。でも、この質問者は本質的な話にこそ興味があるんじゃないの？　だから、どうしてもやりたけりゃ自分で勝手に苦労しなさい、ということで。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2023/06/24 21:34

度々すみません。

修正漏れです。
n は [t] に変更してください。

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2023/06/24 09:02

No.3, 4です。

後半再訂正
一番最後√も付け忘れていました。

（前半省略）
計算すると
(1/2)Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k]
が得られるので、X[k] の組み合わせ毎の位置と確率を求めればいい。

t が小さい時は、具体的に計算できますが、大きいときはどうしましょうかね？
X[k] の期待値は0、分散は2/3であることから、t秒後の位置の分布の期待値は0、分散は
(1/6)Σ_{k = 1 to n} (t - k)^4
となるので、
3Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k] / √(Σ_{k = 1 to n} (t - k)^4)
は、t → ∞ のとき標準正規分布に分布収束しそうな気もしますが、確認していません。

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2023/06/24 08:07

No.3です。

後半訂正
係数の1/2を付け忘れていました。

（前半省略）
計算すると
(1/2)Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k]
が得られるので、X[k] の組み合わせ毎の位置と確率を求めればいい。

t が小さい時は、具体的に計算できますが、大きいときはどうしましょうかね？
X[k] の期待値は0、分散は2/3であることから、t秒後の位置の分布の期待値は0、分散は
(1/6)Σ_{k = 1 to n} (t - k)^4
となるので、
3Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k] / Σ_{k = 1 to n} (t - k)^4
は、t → ∞ のとき標準正規分布に分布収束しそうな気もしますが、確認していません。

No.3 回答者： qas2021 回答日時： 2023/06/24 00:07

残念ながら No.2 さんの確率は間違っています。

P(n, x) = nCx * (2/3)^k * (1/3)^x * (2/3)^y
は、n - x = k + y となる k, y の組み合わせの和でないといけないし
P(n, y) = nCy * (2/3)^k * (1/3)^y * (2/3)^x
は
n - y = k + x となる k, x の組み合わせの 和でないといけません。
また、x, y が独立ではないので、
P(n, x - y) = P(n, x) * P(n, y)
とすることはできません。

x, k, y の分布は三項分布に従いますので、確率関数は
P(x, k, y) = n!/(x!k!y!・3^n)　（n = x + k + y）
となるので、こちらを使って計算すべきです。

それはさておき、別の方法を記載します。

X[k] (k = 1, 2, ･･･) を独立に同一の分布に従う確率変数で、
P(X[k] = -1) = P(X[k] = 0) = P(X[k] = 1) = 1/3
とすると、[t] で tを超えない最大の整数とすると、t 秒後の加速度は
Σ_{k = 1 to [t]} X[k]　（t ≧ 1）
となります。
初期の位置、速度及び加速度は0なので、
∫_1^t ∫_1^u Σ_{k = 1 to [u]} X[k] du dv
で t 秒後の位置が求められます。
計算すると
Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k]
が得られるので、X[k] の組み合わせ毎の位置と確率を求めればいい。

t が小さい時は、具体的に計算できますが、大きいときはどうしましょうかね？
X[k] の期待値は0、分散は2/3であることから、t秒後の位置の分布の期待値は0、分散は
Σ_{k = 1 to n} (2/3)(t - k)^4
となるので、
Σ_{k = 1 to n} (t - k)^2・X[k] / Σ_{k = 1 to n} (2/3)(t - k)^4
は、t → ∞ のとき標準正規分布に分布収束しそうな気もしますが、確認していません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/20 11:08

加速度が１増える事象が x 回

加速度が変わらない事象が k 回
加速度が１減る事象が y 回

起こるとすれば
　x + k + y = n
として

・n 回のうち、加速度が１増える事象が x 回である確率は
　P(n, x) = nCx * (1/3)^x * (2/3)^(n - x)
　　　　 = nCx * (1/3)^x * (2/3)^(y + k)
　　　　 = nCx * (2/3)^k * (1/3)^x * (2/3)^y

・n 回のうち、加速度が１減る事象が y 回である確率は
　P(n, y) = nCy * (1/3)^y * (2/3)^(n - y)
　　　　 = nCy * (1/3)^y * (2/3)^(x + k)
　　　　 = nCy * (2/3)^k * (1/3)^y * (2/3)^x

従って、加速度の合計が x - y である確率は
　P(n, x - y) = P(n, x) * P(n, y)
　　　　　　= nCx * nCy * (2/3)^2k * (2/9)^x * (2/9)^y
　　　　　　= nCx * nCy * (4/9)^(n - x - y) * (2/9)^x * (2/9)^y　　　①

加速度の合計が (x - y) のとき、その平均速度は、初速度が 0 なので
　V(x, y) = (x - y)t
その変位は
　Z(x, y) = (1/2)(x - y)t^2

t 秒後に |Z(x, y)| ≧ S となるためには、t=n なので
　|(1/2)(x - y)n^2| ≧ S
より
　2S/n^2 ≦ |x - y|

こうなる確率を①から求めればよいかと思います。

No.1 回答者： localtombi 回答日時： 2023/06/19 17:16

宿題？