No.3ベストアンサー
- 回答日時:
0から出発してn回目で0に戻ってくる経路全部の集合をΩ[n]、
Ω[n]のうちで、途中で一度も0に戻ってこない経路全部の集合をX[n]、
X[n]のうちで、最初に+1の方に動く経路全部の集合をF[n]、そうでないのをB[n]
としますと
x∈F[n]のとき、その移動方向の符号を全部逆にした経路x*∈B[n]が存在して、
Pr(x) + Pr(x*) = 2^(1-n)
である。だから、
Pr(x∈X[n]) = Pr(x∈F[n]) + Pr(x∈B[n]) = (2^(1-n))|X[n]| ∈有理数
なのは明らか。
さて、x∈Ω[n]について、それはx∈X[n] であるか、あるいは
∃k∃s∃t(s∈X[k] ∧ t∈Ω[n-k) ∧ x=(sに続けてtをやったもの))
である。だから
Pr(x∈Ω[n]) = Pr(x∈X[n]) + Σ{k = 2〜n-2} Pr(s∈X[k])Pr(t∈Ω[n-k))
特に
Ω[2] = X[2]
というわけで、n = 2, 4, 6, .... の帰納法で
Pr(x∈Ω[n]) ∈ 有理数
が言えるでしょう。
No.2
- 回答日時:
>(それ以外の位置にいる可能性も有理数ですから)
2秒後に0の位置に戻ってくる確率
=(√2-1)(1/2)+(2-√2)(1/2)=(1/2)(1)=1/2
なので、2秒後に0以外の位置にいる確率は1-1/2=1/2ですが、、
ちょっと考え方的に問題があるかもしれません。
ということで、
2秒後に2の位置にいる確率は(√2-1)(1/2)で-2の位置にいる確率が(2-√2)(1/2)なんですけど、それらが、その2秒後に0に戻ってくる確率を足すと√2の部分は相殺されてしまいます。
最初に+側に行った兎がn秒後に0に戻ってくる確率と、最初にマイナス側に行った兎がn秒後に0に戻ってくる確率は(その対称性から)同じで、それに最初に行く方向の確率をそれぞれかけたものを足すと、有理数になると言ったほうが、正しいのかもしれません。
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